Considere a função g(x, y, z)=x^2+y^3+z^3+sen(x z).
( 1.0 pt ) Determine a equação cartesiana do plano tangente à superficie do item anterior no ponto (0,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano tangente à superfície de nível gerada pela função g(x,y,z)=x^2+y^3+z^3+sin(xz) no ponto (0,2,1). O conteúdo aqui é plano tangente a uma superfície implícita de três variáveis, e vamos precisar usar derivadas parciais e o gradiente de g.

Passo 2

Para achar o plano tangente a um nível g(x,y,z)=c no ponto (x0,y0,z0), usamos a fórmula
nabla g(x0,y0,z0)cdotl(x-x0,,y-y0,,z-z0r)=0
Então o próximo passo é calcular as derivadas parciais de g.

Passo 3

As derivadas parciais de g são:
partial gpartial x=2x+zcos(xz), partial gpartial y=3y^2, partial gpartial z=3z^2+xcos(xz)

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente no ponto (0,2,1):
partial gpartial x(0,2,1)&=2cdot0+1cdotcos(0)=1, partial gpartial y(0,2,1)&=3cdot2^2=12, partial gpartial z(0,2,1)&=3cdot1^2+0cdotcos(0)=3
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nabla g(0,2,1)=(1,,12,,3)

Passo 5

Usando a fórmula do plano tangente:
1,(x-0)+12,(y-2)+3,(z-1)=0
Simplificando:
x+12y-24+3z-3=0
x+12y+3z-27=0

Resposta

x+12y+3z-27=0

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