A função
.
Determine a curva de nível de
que passa pelo ponto
. Determine um vetor que seja normal a essa curva no ponto
.
Determine a curva de nível de
Passo 1
Temos a função
. A missão é encontrar a curva de nível que passa por
e um vetor normal a ela naquele ponto. Para isso usaremos o conceito de nível de uma função e o gradiente de funções implícitas.
Passo 2
Primeiro calculamos o valor da constante de nível
avaliando
em
:
Passo 3
A curva de nível de valor
satisfaz
Elevando ao quadrado obtemos
Substituindo
temos
Passo 4
Para achar um vetor normal à curva
, definimos a função implícita
cuja curva de nível é
. O vetor gradiente de
é normal à curva. Calculamos:
Em
isso vale
que pode ser simplificado (dividindo por 2) para o vetor
, que é normal à curva naquele ponto.
Resposta
A curva de nível é
e um vetor normal em
é
.