A função f(x, y)=raizy^2-x^2+9.
Determine a curva de nível de f que passa pelo ponto (3,5). Determine um vetor que seja normal a essa curva no ponto (3,5).

Passo 1

Temos a função f(x,y)=raizy^2 - x^2 + 9. A missão é encontrar a curva de nível que passa por (3,5) e um vetor normal a ela naquele ponto. Para isso usaremos o conceito de nível de uma função e o gradiente de funções implícitas.

Passo 2

Primeiro calculamos o valor da constante de nível C avaliando f em (3,5):
C = f(3,5) = raiz5^2 - 3^2 + 9 = raiz25 - 9 + 9 = raiz25 = 5

Passo 3

A curva de nível de valor C satisfaz
raizy^2 - x^2 + 9 = C
Elevando ao quadrado obtemos
y^2 - x^2 + 9 = C^2
Substituindo C=5 temos
y^2 - x^2 + 9 = 25 Longrightarrow y^2 - x^2 = 16

Passo 4

Para achar um vetor normal à curva y^2 - x^2 = 16, definimos a função implícita
phi(x,y) = y^2 - x^2 - 16,
cuja curva de nível é phi(x,y)=0. O vetor gradiente de phi é normal à curva. Calculamos:
nablaphi(x,y) = l(partialphi/partial x, partialphi/partial yr) = (-2x,,2y)
Em (3,5) isso vale
nablaphi(3,5) = (-6,10),
que pode ser simplificado (dividindo por 2) para o vetor (-3,5), que é normal à curva naquele ponto.

Resposta

A curva de nível é y^2 - x^2 = 16 e um vetor normal em (3,5) é (-3,5).

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