En los ejercicios 16-25, calcule las integrales triples indicadas.
, donde
es la parte común de las esferas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou! A ideia aqui é calcular uma integral tripla, que é uma ferramenta poderosa no cálculo multivariável para encontrar o volume sob uma superfície ou, no nosso caso, algo relacionado às coordenadas dentro de uma região específica.
O problema nos pede para calcular a integral tripla de $ z $ sobre uma região $ \Omega $ que é a interseção de duas esferas:
- $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $
- $ x^{2} + y^{2} + (z-1)^{2} \leq 1 $
Vamos precisar entender como essas esferas se relacionam e escolher o melhor sistema de coordenadas para facilitar nossos cálculos. Pronto? Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ \Omega $. Temos duas esferas:
- A primeira esfera, $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $, é centrada na origem (0, 0, 0) e tem raio 1.
- A segunda esfera, $ x^{2} + y^{2} + (z-1)^{2} \leq 1 $, está centrada no ponto (0, 0, 1) e também tem raio 1.
A região $ \Omega $ é a área comum a ambas as esferas, ou seja, a interseção delas. Visualmente, é como se duas bolas se sobrepusessem um pouco no espaço, criando uma “lente” na parte onde elas se cruzam.
Passo 3
Para resolver a integral tripla, precisamos escolher o sistema de coordenadas que simplifica nossos cálculos. Dado que estamos lidando com esferas, o sistema de coordenadas esféricas é uma ótima escolha.
Em coordenadas esféricas, temos:
- $ x = \rho \sin\phi \cos\theta $
- $ y = \rho \sin\phi \sin\theta $
- $ z = \rho \cos\phi $
E o elemento de volume é $ dV = \rho^{2} \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $.
Usando coordenadas esféricas, a simetria das esferas nos ajuda a definir os limites de integração de forma mais fácil.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $.
Primeiro, vamos determinar até onde $ \rho $ vai variar. Observando as esferas:
- Para a primeira esfera, $ \rho \leq 1 $.
- Para a segunda esfera, temos $ (z - 1)^{2} \leq 1 - x^{2} - y^{2} $. Substituindo $ z = \rho \cos\phi $, ficamos com $ (\rho \cos\phi - 1)^{2} \leq 1 - \rho^{2} \sin^{2}\phi $.
Resolvendo isso, encontramos que a interseção ocorre quando $ \rho \cos\phi = 0.5 $. Portanto, o limite superior para $ \rho $ é $ \rho = \frac{1}{\cos\phi} $ quando $ \cos\phi \geq 0.5 $.
Para $ \phi $, observamos que $ \cos\phi \geq 0.5 $, ou seja, $ \phi \leq \arccos(0.5) = \frac{\pi}{3} $.
O ângulo $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $, já que a simetria é completa ao redor do eixo z.
Então, nossos limites são:
- $ \theta \in [0, 2\pi] $
- $ \phi \in [0, \frac{\pi}{3}] $
- $ \rho \in [0, \frac{1}{\cos\phi}] $
Passo 5
Agora que temos os limites, vamos montar a integral tripla. Queremos calcular:
Em coordenadas esféricas, $ z = \rho \cos\phi $, e $ dV = \rho^{2} \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $. Substituindo, a integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integração em relação a $ \rho $:
Agora, nossa integral se torna:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Vamos fazer a substituição $ u = \tan\phi $, então $ du = \sec^{2}\phi , d\phi $. Quando $ \phi = 0 $, $ u = 0 $, e quando $ \phi = \frac{\pi}{3} $, $ u = \sqrt{3} $.
Substituindo, a integral em $ \phi $ fica:
Agora, voltando à integral total:
Resposta
A integral tripla vale $ \frac{3\pi}{4} $.