Mostre que todas as determinações de imath^imath são reais e dadas por imath^imath=exp -(4 k+1) pi2, k=0, pm 1, pm 2, ldots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todas as determinações de imath^imath são números reais e que estão dadas por imath^imath=expl(-tfrac(4k+1)pi2r), com kin Z. O conteúdo de matéria envolve exponenciação complexa e a definição de logaritmo complexo.

Passo 2

Para trabalhar com potências complexas, usamos a definição:\no qual é uma das determinações do logaritmo complexo de z^w=expl(wLog zr). Em particular, para Log z temos módulo z e argumentos gerais z=imath.

Passo 3

Calculamos então o logaritmo geral de imath:

Passo 4

Agora aplicamos a definição de potência complexa com w=imath:

Passo 5

Observe que expl(-l(tfracpi2+2pi kr)r)=expl(-tfrac(4k+1)pi2r) é um número real positivo para todo kin Z. Portanto, todas as determinações de imath^imath são reais e estão na forma desejada.

Resposta

As determinações de imath^imath são expl(-tfrac(4k+1)pi2r), com k=0,pm1,pm2,dots.

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