Mostre que todas as determinações de
são reais e dadas por
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todas as determinações de
são números reais e que estão dadas por
, com
. O conteúdo de matéria envolve exponenciação complexa e a definição de logaritmo complexo.
Passo 2
Para trabalhar com potências complexas, usamos a definição:\no qual é uma das determinações do logaritmo complexo de
. Em particular, para
temos módulo
e argumentos gerais
.
Passo 3
Calculamos então o logaritmo geral de
:
Passo 4
Agora aplicamos a definição de potência complexa com
:
Passo 5
Observe que
é um número real positivo para todo
. Portanto, todas as determinações de
são reais e estão na forma desejada.
Resposta
As determinações de
são
, com
.