Demonstre que z neq 0, onde r e é um número real qualquer.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, para um número complexo zneq0 e um número real r, vale a identidade lvert z^rrvert=lvert zrvert^r. O conteúdo principal é a representação polar/exponencial de números complexos e a definição de potência real em termos de exponencial e logaritmo.

Passo 2

Como zneq0, podemos escrevê-lo em forma polar/exponencial:
z = lvert zrvert,e^itheta,
onde lvert zrvert>0 é o módulo de z e theta=arg(z) é seu argumento. Pela definição de logaritmo complexo, escolhemos uma determinação de arg(z) e temos
log z = lnlvert zrvert + itheta

Passo 3

Usando a definição de potência real para complexos, definimos
z^r = e^rlog z = e^r(lnlvert zrvert + itheta) = e^rlnlvert zrvert;e^i rtheta

Passo 4

Agora calculamos o módulo de z^r:
lvert z^rrvert = llvert e^rlnlvert zrvert;e^i rthetarrvert = llvert e^rlnlvert zrvertrrvert;llvert e^i rthetarrvert
Como e^rlnlvert zrvert é um número real positivo, seu módulo é ele mesmo, e lvert e^i rthetarvert=1. Então
lvert z^rrvert = e^rlnlvert zrvert = (e^lnlvert zrvert)^r = lvert zrvert^r

Resposta

lvert z^rrvert = lvert zrvert^r.

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