Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=1+\sqrt{4-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y) = 1 + \sqrt{4 - y^2}.
O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais e vamos precisar do conceito de derivada de uma função composta (chain rule) e da derivada da raiz quadrada.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante. Observamos que f não depende de x a não ser pelo termo constante 1. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = 0.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y} aplicamos a regra da cadeia à parte \sqrt{4 - y^2}. Definimos
u(y) = 4 - y^2,
de modo que
\sqrt{4 - y^2} = (u(y))^{1/2}.
A derivada de (u)^{1/2} em relação a u é
\frac{d}{du} \bigl(u^{1/2}\bigr) = \frac{1}{2\,u^{1/2}},
e a derivada de u(y) em relação a y é
\frac{du}{dy} = \frac{d}{dy}(4 - y^2) = -2y.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{4 - y^2} = \frac{1}{2\sqrt{4 - y^2}}\cdot(-2y) = -\frac{y}{\sqrt{4 - y^2}}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} = 0 + \bigl(-\tfrac{y}{\sqrt{4 - y^2}}\bigr) = -\frac{y}{\sqrt{4 - y^2}}.

Passo 4

Observação sobre domínio: a função \sqrt{4 - y^2} e sua derivada estão definidas para 4 - y^2>0, isto é, -2<y<2.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = 0,
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{y}{\sqrt{4 - y^2}}.

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