Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
  • \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^{2}}
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}}.
  • Não há outras hipóteses (por exemplo, sinais alternados); os termos são positivos para todo n.

Passo 2

Primeiro, vale a pena ver alguns termos para ganhar intuição (apenas para sentir o comportamento):
a_1=\frac{2!}{1!^{2}}=2,\qquad a_2=\frac{4!}{2!^{2}}=\frac{24}{4}=6,\qquad a_3=\frac{6!}{3!^{2}}=\frac{720}{36}=20.
Os termos já estão crescendo: 2,6,20,\dots. Isso sugere que os termos não tendem a zero, mas vamos demonstrar isso de forma rigorosa.

Passo 3

Lembrete teórico essencial (muito usado em provas): se a série \sum a_n converge, então necessariamente a_n\to 0 quando n\to\infty. Esse é o teste da condição necessária para convergência. Logo, se conseguirmos provar que a_n\not\to0, então a série diverge.

Passo 4

Calculemos a razão entre termos consecutivos para analisar o comportamento de a_n:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)!^{2}}}{\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}.
Agora simplificamos a expressão:
\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^{2}} =2\cdot\frac{2n+1}{n+1} =2\!\left(2-\frac{1}{n+1}\right) =4-\frac{2}{n+1}.

Passo 5

Tomando limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=4.
Como esse limite é maior que 1, os termos a_n crescem geometricamente (aproximadamente por um fator 4 a cada passo). Mais formalmente, já para n\ge 1 tem-se
\frac{a_{n+1}}{a_n}=4-\frac{2}{n+1}\ge 3,
logo a_{n+1}\ge 3a_n para todo n\ge 1. A partir daí, por recorrência,
a_n \ge 3^{\,n-1}a_1,
o que mostra que a_n\to\infty quando n\to\infty. Em particular, a_n\not\to0.

Passo 6

Pelo passo anterior, os termos a_n não tendem a zero; portanto, pela condição necessária para convergência de séries, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^{2}}
diverge. Como os termos são todos positivos, a noção de convergência absoluta coincide com a própria convergência da série; logo não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente — simplesmente diverge.

Resposta

Divergente.

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