Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Não há outras hipóteses (por exemplo, sinais alternados); os termos são positivos para todo
.
Passo 2
Primeiro, vale a pena ver alguns termos para ganhar intuição (apenas para sentir o comportamento):
Os termos já estão crescendo:
. Isso sugere que os termos não tendem a zero, mas vamos demonstrar isso de forma rigorosa.
Passo 3
Lembrete teórico essencial (muito usado em provas): se a série
converge, então necessariamente
quando
. Esse é o teste da condição necessária para convergência. Logo, se conseguirmos provar que
, então a série diverge.
Passo 4
Calculemos a razão entre termos consecutivos para analisar o comportamento de
:
Agora simplificamos a expressão:
Passo 5
Tomando limite quando
:
Como esse limite é maior que
, os termos
crescem geometricamente (aproximadamente por um fator
a cada passo). Mais formalmente, já para
tem-se
logo
para todo
. A partir daí, por recorrência,
o que mostra que
quando
. Em particular,
.
Passo 6
Pelo passo anterior, os termos
não tendem a zero; portanto, pela condição necessária para convergência de séries, a série
diverge. Como os termos são todos positivos, a noção de convergência absoluta coincide com a própria convergência da série; logo não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente — simplesmente diverge.
Resposta
Divergente.