Considere a função horária de uma partícula em movimento retilíneo em uma dimensão com aceleração a constante, velocidade inicial v0 e posição inicial x0
x(t)=x0+v0 t+12 a t^2
Para t>0, x0>0 e v0>0, sob que condições a partícula atinge x=0. Faça um esboço do gráfico de uma função em esse tipo de comportamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função que descreve a posição de uma partícula que se move em linha reta com aceleração constante. A equação dada é:
x(t) = x0 + v0 t + 12 a t^2
Nosso objetivo aqui é descobrir sob quais condições essa partícula chega a posição x = 0 no tempo t > 0. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação que temos. Ela representa a posição da partícula em função do tempo, considerando:
  • x0: posição inicial da partícula.
  • v0: velocidade inicial.
  • a: aceleração constante.
  • t: tempo.
Estamos procurando o tempo t em que a posição x(t) é igual a zero. Então, vamos igualar a equação a zero:
x0 + v0 t + 12 a t^2 = 0

Passo 3

Essa é uma equação quadrática na forma padrão:
at^2 + bt + c = 0,
onde:
  • a = 12 a,
  • b = v0,
  • c = x0.
Para resolver uma equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 4

Vamos identificar os coeficientes na nossa equação:
  • a = 12 a,
  • b = v0,
  • c = x0.
Agora, calculamos o discriminante ( De) que é a parte dentro da raiz quadrada:
De

Passo 5

Para que a equação tenha soluções reais, o discriminante deve ser maior ou igual a zero:
Então, a condição é:
v0^2 >= 2 a x0

Passo 6

Além disso, precisamos que o tempo t seja positivo, já que estamos considerando t > 0. Então, vamos calcular as soluções:
t = -v0 pm raizv0^2 - 2 a x0a
Para que t seja positivo, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal.

Passo 7

Considerando que a pode ser positivo ou negativo, vamos analisar os casos:
  1. Se a < 0:
    • A partícula está desacelerando.
    • Temos uma solução positiva para t se v0^2 >= 2 a x0.
  2. Se a > 0:
    • A partícula está acelerando.
    • A condição v0^2 >= 2 a x0 ainda se aplica para ter uma solução real positiva.

Passo 8

Portanto, a condição para que a partícula atinja x = 0 é:
v0^2 >= 2 a x0
Ou seja, a velocidade inicial ao quadrado deve ser pelo menos o dobro da aceleração vezes a posição inicial.

Resposta

A partícula atinge x = 0 para tempos positivos t quando a velocidade inicial satisfaz v0^2 >= 2 a x0. Ou seja, a condição necessária é:
v0^2 >= 2 a x0
Além disso, o gráfico da função x(t) neste caso será uma parábola que corta o eixo das abscissas ( x) em t = 0 e em outro ponto positivo, representando o tempo em que a partícula atinge x = 0 novamente.

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