Considere a função horária de uma partícula em movimento retilíneo em uma dimensão com aceleração a constante, velocidade inicial
e posição inicial
Para
e
, sob que condições a partícula atinge
. Faça um esboço do gráfico de uma função em esse tipo de comportamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função que descreve a posição de uma partícula que se move em linha reta com aceleração constante. A equação dada é:
Nosso objetivo aqui é descobrir sob quais condições essa partícula chega a posição
no tempo
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente resolver uma equação quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação que temos. Ela representa a posição da partícula em função do tempo, considerando:
-
: posição inicial da partícula. -
: velocidade inicial. -
: aceleração constante. -
: tempo.
Estamos procurando o tempo
em que a posição
é igual a zero. Então, vamos igualar a equação a zero:
Passo 3
Essa é uma equação quadrática na forma padrão:
onde:
-
, -
, -
.
Para resolver uma equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Vamos identificar os coeficientes na nossa equação:
-
, -
, -
.
Agora, calculamos o discriminante (
) que é a parte dentro da raiz quadrada:
Passo 5
Para que a equação tenha soluções reais, o discriminante deve ser maior ou igual a zero:
Então, a condição é:
Passo 6
Além disso, precisamos que o tempo
seja positivo, já que estamos considerando
. Então, vamos calcular as soluções:
Para que
seja positivo, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal.
Passo 7
Considerando que
pode ser positivo ou negativo, vamos analisar os casos:
-
Se
: - A partícula está desacelerando.
- Temos uma solução positiva para
se .
-
Se
: - A partícula está acelerando.
- A condição
ainda se aplica para ter uma solução real positiva.
Passo 8
Portanto, a condição para que a partícula atinja
é:
Ou seja, a velocidade inicial ao quadrado deve ser pelo menos o dobro da aceleração vezes a posição inicial.
Resposta
A partícula atinge
para tempos positivos
quando a velocidade inicial satisfaz
. Ou seja, a condição necessária é:
Além disso, o gráfico da função
neste caso será uma parábola que corta o eixo das abscissas (
) em
e em outro ponto positivo, representando o tempo em que a partícula atinge
novamente.