Determine uma equação de plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado:
x^2+y^2-z^2=6 ; P=(3,-1,2)

Passo 1

O exercício nos dá a superfície implícita x^2 + y^2 - z^2 = 6 e o ponto P=(3,-1,2). Vamos usar o conceito de gradiente para obter o vetor normal e daí achar a equação do plano tangente e da reta normal.

Passo 2

Definimos a função F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-6. Como a superfície é dada por F(x,y,z)=0, o gradiente nabla F aponta na direção normal à superfície. Calculamos nabla F=(2x,2y,-2z).

Passo 3

Avalia-se o gradiente em P: nabla F(3,-1,2)=(2cdot3,2cdot(-1),-2cdot2)=(6,-2,-4). Esse vetor (6,-2,-4) é normal ao plano tangente.

Passo 4

A equação geral do plano com normal (a,b,c) passando por (x0,y0,z0) é a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0. Substituindo a=6, b=-2, c=-4 e (x0,y0,z0)=(3,-1,2) obtemos: 6(x-3) - 2(y+1) - 4(z-2)=0. Simplificando, fica 3x - y - 2z - 6 = 0.

Passo 5

A reta normal passa por P e tem direção do vetor (6,-2,-4). Na forma paramétrica: x=3+6t,;y=-1-2t,;z=2-4t. Na forma simétrica: x-36=y+1-2=z-2-4.

Resposta

Plano tangente: 3x - y - 2z - 6 = 0. Reta normal: x-36=y+1-2=z-2-4 (ou parametricamente x=3+6t,;y=-1-2t,;z=2-4t).

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