Determine uma equação de plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado:
Passo 1
O exercício nos dá a superfície implícita
e o ponto
. Vamos usar o conceito de gradiente para obter o vetor normal e daí achar a equação do plano tangente e da reta normal.
Passo 2
Definimos a função
. Como a superfície é dada por
, o gradiente
aponta na direção normal à superfície. Calculamos
.
Passo 3
Avalia-se o gradiente em
:
. Esse vetor
é normal ao plano tangente.
Passo 4
A equação geral do plano com normal
passando por
é
. Substituindo
,
,
e
obtemos: 6(x-3) - 2(y+1) - 4(z-2)=0. Simplificando, fica
.
Passo 5
A reta normal passa por
e tem direção do vetor
. Na forma paramétrica:
. Na forma simétrica:
.
Resposta
Plano tangente:
. Reta normal:
(ou parametricamente
).