Para as funções f(x) e g(x) abaixo, faça o gráfico das funções f e g entre os valores de x que satisfazem f(x)= g(x), indicando o ponto de máximo ou mínimo da função f, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
f(x)=-x^2-2 x+1 e g(x)=x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar os gráficos das funções $ f(x) = -x^{2} - 2x + 1 $ e $ g(x) = x + 3 $ no intervalo onde essas duas funções são iguais, ou seja, onde $ f(x) = g(x) $. Além disso, temos que indicar o ponto de máximo ou mínimo da função $ f $, se ele estiver nesse intervalo, e mostrar a imagem das duas funções nesse intervalo. Vamos precisar resolver a equação $ f(x) = g(x) $ e entender um pouco sobre gráficos de funções quadráticas e lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de $ x $ onde $ f(x) = g(x) $. Isso significa resolver a equação:
x
Vamos passar tudo para um lado da equação para facilitar:
f(x) = g(x)
Simplificando:
-x^2 - 2x + 1 = x + 3

Passo 3

Agora, multiplicamos a equação por -1 para facilitar os cálculos:
x^2 + 3x + 2 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
(x + 1)(x + 2) = 0
Então, as soluções são:
x + 1 = 0 Rightarrow x = -1
x + 2 = 0 Rightarrow x = -2

Passo 4

Encontramos que as funções se encontram nos pontos $ x = -1 $ e $ x = -2 $. Então, o intervalo que interessa para a gente é de $ x = -2 $ até $ x = -1 $.

Passo 5

Agora, vamos verificar o comportamento da função $ f(x) = -x^{2} - 2x + 1 $. Essa é uma parábola que abre para baixo porque o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo ( f(x) = -x^2 - 2x + 1 ). O ponto de máximo dessa parábola está no vértice.
Para encontrar o vértice, usamos a fórmula:
x^2
Onde $ a = -1 $ e $ b = -2 $. Assim:
-1
Porém, $ x_v = 1 $ não está no intervalo xv = -b2a , então não precisamos marcar nenhum ponto de máximo no nosso gráfico dentro desse intervalo.

Passo 6

Vamos agora traçar os gráficos das funções $ f(x) $ e $ g(x) $ entre $ x = -2 $ e $ x = -1 $.
Para $ f(x) = -x^{2} - 2x + 1 $:
  • Em $ x = -2 $: $ f(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) + 1 = -4 + 4 + 1 = 1 $
  • Em $ x = -1 $: $ f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2 $
Para $ g(x) = x + 3 $:
  • Em $ x = -2 $: $ g(-2) = -2 + 3 = 1 $
  • Em $ x = -1 $: $ g(-1) = -1 + 3 = 2 $
Assim, os pontos de interseção são f(x) e g(x) . Vamos desenhar as duas funções nesse intervalo, mostrando que elas se cruzam nesses pontos.

Passo 7

Finalmente, a imagem das funções no intervalo [-2, -1] é o conjunto dos valores de $ f(x) $ e $ g(x) $ que vão de 1 a 2. Como vimos, tanto $ f(x) $ quanto $ g(x) $ começam em 1 quando $ x = -2 $ e terminam em 2 quando $ x = -1 $.

Resposta

Entendemos que as funções $ f(x) $ e $ g(x) $ se intersectam nos pontos f(x) e g(x) . No intervalo de $ x = -2 $ a $ x = -1 $, a função $ f(x) $ não apresenta ponto de máximo ou mínimo. Os gráficos das funções dentro desse intervalo passam de 1 a 2, com ambos cruzando nos pontos mencionados.

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