Para as funções
e
abaixo, faça o gráfico das funções
e
entre os valores de
que satisfazem
, indicando o ponto de máximo ou mínimo da função
, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar os gráficos das funções $ f(x) = -x^{2} - 2x + 1 $ e $ g(x) = x + 3 $ no intervalo onde essas duas funções são iguais, ou seja, onde $ f(x) = g(x) $. Além disso, temos que indicar o ponto de máximo ou mínimo da função $ f $, se ele estiver nesse intervalo, e mostrar a imagem das duas funções nesse intervalo. Vamos precisar resolver a equação $ f(x) = g(x) $ e entender um pouco sobre gráficos de funções quadráticas e lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de $ x $ onde $ f(x) = g(x) $. Isso significa resolver a equação:
Vamos passar tudo para um lado da equação para facilitar:
Simplificando:
Passo 3
Agora, multiplicamos a equação por
para facilitar os cálculos:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 4
Encontramos que as funções se encontram nos pontos $ x = -1 $ e $ x = -2 $. Então, o intervalo que interessa para a gente é de $ x = -2 $ até $ x = -1 $.
Passo 5
Agora, vamos verificar o comportamento da função $ f(x) = -x^{2} - 2x + 1 $. Essa é uma parábola que abre para baixo porque o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo (
). O ponto de máximo dessa parábola está no vértice.
Para encontrar o vértice, usamos a fórmula:
Onde $ a = -1 $ e $ b = -2 $. Assim:
Porém, $ x_v = 1 $ não está no intervalo
, então não precisamos marcar nenhum ponto de máximo no nosso gráfico dentro desse intervalo.
Passo 6
Vamos agora traçar os gráficos das funções $ f(x) $ e $ g(x) $ entre $ x = -2 $ e $ x = -1 $.
Para $ f(x) = -x^{2} - 2x + 1 $:
- Em $ x = -2 $: $ f(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) + 1 = -4 + 4 + 1 = 1 $
- Em $ x = -1 $: $ f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2 $
Para $ g(x) = x + 3 $:
- Em $ x = -2 $: $ g(-2) = -2 + 3 = 1 $
- Em $ x = -1 $: $ g(-1) = -1 + 3 = 2 $
Assim, os pontos de interseção são
e
. Vamos desenhar as duas funções nesse intervalo, mostrando que elas se cruzam nesses pontos.
Passo 7
Finalmente, a imagem das funções no intervalo
é o conjunto dos valores de $ f(x) $ e $ g(x) $ que vão de 1 a 2. Como vimos, tanto $ f(x) $ quanto $ g(x) $ começam em 1 quando $ x = -2 $ e terminam em 2 quando $ x = -1 $.
Resposta
Entendemos que as funções $ f(x) $ e $ g(x) $ se intersectam nos pontos
e
. No intervalo de $ x = -2 $ a $ x = -1 $, a função $ f(x) $ não apresenta ponto de máximo ou mínimo. Os gráficos das funções dentro desse intervalo passam de 1 a 2, com ambos cruzando nos pontos mencionados.