Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais:
integral0^1 integral0^raiz1-y^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 z d z d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral0^1integral0^raiz1-y^2integral0^raiz4-x^2-y^2 z,dz,dx,dy. O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas ( r,theta,z) e vamos precisar usar o jacobiano r e os limites apropriados em r, theta e z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos as substituições
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com jacobiano r. A projeção no plano xy é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante, logo
0 <= theta <= pi2, 0 <= r <= 1
O limite em z vem de z = 0 até z = raiz4 - r^2.

Passo 3

A integral vira
integral0^pi/2integral0^1integral0^raiz4 - r^2 z, (r,dz,dr,dtheta) = integral0^pi/2integral0^1 r(integral0^raiz4 - r^2 z,dz)dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro integral0^raiz4 - r^2 z,dz. Temos
integral0^raiz4 - r^2 z,dz = 12l(raiz4 - r^2r)^2 = 4 - r^22
Então o integrando em r,theta fica
rcdot 4 - r^22 = 4r - r^32

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^14r - r^32,dr = 12(integral0^14r,dr - integral0^1r^3,dr) = 12l(2r^2 - tfracr^44r)|0^1 = 12l(2 - tfrac14r) = 78

Passo 6

Por fim integramos em theta de 0 a pi/2:
integral0^pi/278,dtheta = 78cdot pi2 = 7pi16

Resposta

7pi16

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