Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é definida de dois jeitos diferentes, dependendo do valor de $ x $. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função, descobrir qual é o maior conjunto de valores de $ x $ que a função aceita (domínio) e quais valores a função pode assumir (imagem). Para isso, vamos lembrar de conceitos básicos sobre funções, domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. Olhando para a definição da função:
Vemos que a função está definida para $ x $ entre 0 e 1 (não incluindo 0 e 1) e para $ x $ maior que 1. Isso significa que o domínio são todos os números reais maiores que 0, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os valores que $ f(x) $ pode assumir. Para $ 0 < x < 1 $, $ f(x) = 1 $, então 1 está na imagem. Para $ x > 1 $, a função é $ f(x) = -2x^{2} + 3 $. Vamos analisar essa parte:
- A função quadrática $ -2x^{2} + 3 $ tem concavidade para baixo (porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo).
- O valor máximo ocorre no vértice da parábola. Para uma função da forma $ ax^2 + bx + c $, o vértice está em $ x = -\frac{b}{2a} $. Aqui, $ b = 0 $, então o vértice está em $ x = 0 $. Porém, como estamos considerando $ x > 1 $, veremos que a função diminui à medida que $ x $ aumenta.
- Quando $ x $ se aproxima de 1 por cima, $ f(x) $ se aproxima de $ -2(1)^2 + 3 = 1 $.
- Conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ diminui sem limite inferior.
Portanto, a imagem para $ x > 1 $ é $ f(x) < 1 $. Juntando com o valor de 1 da primeira parte, a imagem total é:
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico:
- Para $ 0 < x < 1 $, $ f(x) = 1 $ é uma reta horizontal no valor $ y = 1 $, mas sem incluir os pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
- Para $ x > 1 $, $ f(x) = -2x^{2} + 3 $ é uma parábola que começa em $ x = 1 $ com $ f(1) = 1 $ e desce para baixo conforme $ x $ aumenta.
- No ponto $ x = 1 $, a função não está definida exatamente, então não colocamos um ponto preenchido nesse local.
Resposta
O domínio da função é $ x \in (0, +\infty) $ e a imagem é todos os números reais menores que 1, isto é, $ f(x) < 1 $.