• Considere a função f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=(1+x)^{1 / 2}=\sqrt{1+x}.
  1. Usando o teorema binomial, escreva mais detalhadamente os primeiros termos da série de Taylor centrada em 0 de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f:(-1,\infty)\to\mathbb{R} definida por f(x)=(1+x)^{1/2}. Pede-se: "Usando o teorema binomial, escreva mais detalhadamente os primeiros termos da série de Taylor centrada em 0 de f".
Informações relevantes: domínio (-1,\infty), a função f(x)=\sqrt{1+x} e o ponto de expansão 0. A tarefa é obter os termos iniciais da série de potências (série de Taylor em torno de 0).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a forma geral da expansão binomial para expoente arbitrário. Para um número real \alpha vale, quando |x|<1:
(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^{n},
onde os coeficientes binomiais generalizados são dados por
\binom{\alpha}{0}=1,\qquad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\quad(n\ge1).
Explicando devagar: \alpha é o expoente (aqui será \tfrac{1}{2}); \binom{\alpha}{n} é um número obtido multiplicando n fatores começando em \alpha e diminuindo de 1 em 1, e dividindo por n!. A série só é garantida para |x|<1 (raio de convergência 1).

Passo 3

Agora aplicamos com \alpha=\tfrac{1}{2}. A expansão geral é
(1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{1/2}{n} x^{n},
com
\binom{1/2}{n}=\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}-2\right)\cdots\left(\frac{1}{2}-n+1\right)}{n!}.

Passo 4

Calculemos termo a termo, começando por n=0:
\binom{1/2}{0}=1,
logo o termo de ordem zero é 1.

Passo 5

Para n=1:
\binom{1/2}{1}=\frac{1}{2},
portanto o termo de ordem 1 é \dfrac{1}{2}x.

Passo 6

Para n=2:
\binom{1/2}{2}=\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)}{2!}=\frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}=\frac{-\tfrac{1}{4}}{2}=-\frac{1}{8}.
Portanto o termo de ordem 2 é -\dfrac{1}{8}x^{2}.

Passo 7

Para n=3:
\binom{1/2}{3}=\frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{3!}=\frac{\frac{3}{8}}{6}=\frac{3}{48}=\frac{1}{16}.
Logo o termo de ordem 3 é \dfrac{1}{16}x^{3}.

Passo 8

Para n=4:
\binom{1/2}{4}=\frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{4!}=\frac{-15}{384}=-\frac{5}{128}.
Assim o termo de ordem 4 é -\dfrac{5}{128}x^{4}.

Passo 9

Para n=5 (opcional, só para ver o padrão):
\binom{1/2}{5}=\frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{5!}=\frac{105}{3840}=\frac{7}{256},
portanto o termo de ordem 5 é \dfrac{7}{256}x^{5}.

Passo 10

Juntando os termos calculados, a série de Taylor centrada em 0 (série binomial) para f(x)=\sqrt{1+x} tem os primeiros termos:
(1+x)^{1/2}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}-\frac{5}{128}x^{4}+\frac{7}{256}x^{5}+\cdots,
ou, de forma geral,
(1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^{n},\qquad |x|<1.

Resposta

(1+x)^{1/2}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}-\frac{5}{128}x^{4}+\frac{7}{256}x^{5}+\cdots
(1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^{n},\qquad |x|<1.

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