- Considere a função
dada por
.
- Usando o teorema binomial, escreva mais detalhadamente os primeiros termos da série de Taylor centrada em 0 de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. Pede-se: "Usando o teorema binomial, escreva mais detalhadamente os primeiros termos da série de Taylor centrada em 0 de
".
Informações relevantes: domínio , a função
e o ponto de expansão
. A tarefa é obter os termos iniciais da série de potências (série de Taylor em torno de
).
Informações relevantes: domínio
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a forma geral da expansão binomial para expoente arbitrário. Para um número real
vale, quando
:
onde os coeficientes binomiais generalizados são dados por
Explicando devagar:
é o expoente (aqui será
);
é um número obtido multiplicando
fatores começando em
e diminuindo de 1 em 1, e dividindo por
. A série só é garantida para
(raio de convergência
).
Passo 3
Agora aplicamos com
. A expansão geral é
com
Passo 4
Calculemos termo a termo, começando por
:
logo o termo de ordem zero é
.
Passo 5
Para
:
portanto o termo de ordem 1 é
.
Passo 6
Para
:
Portanto o termo de ordem 2 é
.
Passo 7
Para
:
Logo o termo de ordem 3 é
.
Passo 8
Para
:
Assim o termo de ordem 4 é
.
Passo 9
Para
(opcional, só para ver o padrão):
portanto o termo de ordem 5 é
.
Passo 10
Juntando os termos calculados, a série de Taylor centrada em
(série binomial) para
tem os primeiros termos:
ou, de forma geral,