Considere a função f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=(1+x)^{1 / 2}=\sqrt{1+x}.
  1. Usando o teorema binomial, escreva mais detalhadamente os primeiros termos da série de Taylor centrada em 0 de f.
  2. Tomando x=\frac{-1}{2}, calcule o valor da soma truncada até n=5.
Multiplicando em ambos os lados por 2, obtenha um valor aproximado de \sqrt{2}.
3. Tomando x=\frac{-1}{4}, calcule o valor da soma truncada até n=5.
Multiplicando em ambos os lados por 2, obtenha um valor aproximado de \sqrt{3}.
4. Tomando x=\frac{1}{4}, calcule o valor da soma truncada até n=5.
Multiplicando em ambos os lados por 2, obtenha um valor aproximado de \sqrt{5}.

Passo 1

O enunciado dá a função f:(-1,\infty)\to\mathbb{R} definida por f(x)=(1+x)^{1/2}. São pedidos:
  1. Usando o teorema binomial, escrever os primeiros termos da série de Taylor centrada em 0 (isto é, a expansão em série de potências de (1+x)^{1/2}) de forma detalhada.
  2. Tomar x=\tfrac{-1}{2}, calcular a soma truncada até n=5 da série e, multiplicando por 2, obter uma aproximação de \sqrt{2}.
  3. Tomar x=\tfrac{-1}{4}, calcular a soma truncada até n=5 e, multiplicando por 2, obter uma aproximação de \sqrt{3}.
  4. Tomar x=\tfrac{1}{4}, calcular a soma truncada até n=5 e, multiplicando por 2, obter uma aproximação de \sqrt{5}.
Informações relevantes dadas: a função (1+x)^{1/2}, queremos expansão ao redor de 0 e somas truncadas até o termo n=5 para três valores de x.

Passo 2

Vamos construir a série usando a forma generalizada do teorema binomial para expoente real. O teorema diz que, para |x|<1,
(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^{n},
onde o coeficiente binomial generalizado é
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},
com \binom{\alpha}{0}=1.
Aqui \alpha=\tfrac{1}{2}. Vamos calcular explicitamente \binom{1/2}{n} para n=0,1,2,3,4,5:
  • n=0:
\binom{1/2}{0}=1.
  • n=1:
\binom{1/2}{1}=\frac{1/2}{1}=\tfrac{1}{2}.
  • n=2:
\binom{1/2}{2}=\frac{(1/2)(-1/2)}{2!}=\frac{-1/4}{2}=-\tfrac{1}{8}.
  • n=3:
\binom{1/2}{3}=\frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{3!} =\frac{3/8}{6}=\tfrac{1}{16}.
  • n=4:
\binom{1/2}{4}=\frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2)}{4!} =\frac{-15/16}{24}=-\tfrac{5}{128}.
  • n=5:
\binom{1/2}{5}=\frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2)(-7/2)}{5!} =\frac{105/32}{120}=\tfrac{7}{256}.
Expliquei passo a passo como cada fator do numerador vem de (\alpha)(\alpha-1)\cdots e depois dividimos por n!.

Passo 3

Substituindo os coeficientes obtidos na série, os primeiros termos (até n=5) da expansão de Taylor centrada em 0 são:
\sqrt{1+x}=1+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{1}{16}x^{3}-\tfrac{5}{128}x^{4}+\tfrac{7}{256}x^{5}+\cdots
Isto é a série truncada até n=5; nas próximas etapas vamos avaliar essa soma truncada em cada x pedido.

Passo 4

Tomando x=\tfrac{-1}{2}. Vamos calcular termo a termo (mostro frações exatas e decimais):
Termos:
\begin{aligned} n=0:&\quad 1\\\ n=1:&\quad \tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=-\tfrac{1}{4}=-0,25\\\ n=2:&\quad -\tfrac{1}{8}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=-\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{32}=-0,03125\\\ n=3:&\quad \tfrac{1}{16}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}=\tfrac{1}{16}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{8}\bigr)=-\tfrac{1}{128}=-0,0078125\\\ n=4:&\quad -\tfrac{5}{128}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{4}=-\tfrac{5}{128}\cdot\tfrac{1}{16}=-\tfrac{5}{2048}\approx-0,00244140625\\\ n=5:&\quad \tfrac{7}{256}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{5}=\tfrac{7}{256}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{32}\bigr)=-\tfrac{7}{8192}\approx-0,0008544921875. \end{aligned}
Somando as frações com denominador comum 8192 obtemos a soma truncada S_{5}:
S_{5}=\frac{5797}{8192}\approx 0,7076416015625.
Multiplicando por 2 (lembre que 2\sqrt{1-1/2}=2\cdot\sqrt{1/2}=\sqrt{2}) obtemos a aproximação:
2S_{5}=\frac{5797}{4096}\approx 1,415283203125.

Passo 5

Tomando x=\tfrac{-1}{4}. Calculando termo a termo:
Termos:
\begin{aligned} n=0:&\quad 1\\\ n=1:&\quad \tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)=-\tfrac{1}{8}=-0,125\\\ n=2:&\quad -\tfrac{1}{8}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}=-\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{16}=-\tfrac{1}{128}=-0,0078125\\\ n=3:&\quad \tfrac{1}{16}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)^{3}=\tfrac{1}{16}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{64}\bigr)=-\tfrac{1}{1024}=-0,0009765625\\\ n=4:&\quad -\tfrac{5}{128}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)^{4}=-\tfrac{5}{128}\cdot\tfrac{1}{256}=-\tfrac{5}{32768}\approx-0,000152587890625\\\ n=5:&\quad \tfrac{7}{256}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)^{5}=\tfrac{7}{256}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{1024}\bigr)=-\tfrac{7}{262144}\approx-0,000026702880859375. \end{aligned}
Somando com denominador comum 262144 obtemos:
S_{5}=\frac{227025}{262144}\approx 0,866031646728515625.
Multiplicando por 2 (pois 2\sqrt{1-1/4}=\sqrt{3}) obtemos a aproximação:
2S_{5}=\frac{227025}{131072}\approx 1,73206329345703125.

Passo 6

Tomando x=\tfrac{1}{4}. Calculando termo a termo:
Termos:
\begin{aligned} n=0:&\quad 1\\\ n=1:&\quad \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{8}=0,125\\\ n=2:&\quad -\tfrac{1}{8}\cdot\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}=-\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{16}=-\tfrac{1}{128}=-0,0078125\\\ n=3:&\quad \tfrac{1}{16}\cdot\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{3}=\tfrac{1}{16}\cdot\tfrac{1}{64}=\tfrac{1}{1024}=0,0009765625\\\ n=4:&\quad -\tfrac{5}{128}\cdot\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{4}=-\tfrac{5}{128}\cdot\tfrac{1}{256}=-\tfrac{5}{32768}\approx-0,000152587890625\\\ n=5:&\quad \tfrac{7}{256}\cdot\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{5}=\tfrac{7}{256}\cdot\tfrac{1}{1024}=\tfrac{7}{262144}\approx0,000026702880859375. \end{aligned}
Somando com denominador comum 262144 obtemos:
S_{5}=\frac{293087}{262144}\approx 1,118038177490234375.
Multiplicando por 2 (pois 2\sqrt{1+1/4}=\sqrt{5}) obtemos a aproximação:
2S_{5}=\frac{293087}{131072}\approx 2,23607635498046875.

Resposta

\sqrt{1+x}=1+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{1}{16}x^{3}-\tfrac{5}{128}x^{4}+\tfrac{7}{256}x^{5}+\cdots
Para x=-\tfrac{1}{2}: soma truncada S_{5}=\tfrac{5797}{8192}\approx 0,7076416015625. Multiplicando por 2: 2S_{5}=\tfrac{5797}{4096}\approx 1,415283203125.
Para x=-\tfrac{1}{4}: soma truncada S_{5}=\tfrac{227025}{262144}\approx 0,866031646728515625. Multiplicando por 2: 2S_{5}=\tfrac{227025}{131072}\approx 1,73206329345703125.
Para x=\tfrac{1}{4}: soma truncada S_{5}=\tfrac{293087}{262144}\approx 1,118038177490234375. Multiplicando por 2: 2S_{5}=\tfrac{293087}{131072}\approx 2,23607635498046875.

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