Considere a função
dada por
.
- Usando o teorema binomial, escreva mais detalhadamente os primeiros termos da série de Taylor centrada em 0 de
.
- Tomando
, calcule o valor da soma truncada até
.
Multiplicando em ambos os lados por 2, obtenha um valor aproximado de
.
3. Tomando
, calcule o valor da soma truncada até
.
Multiplicando em ambos os lados por 2, obtenha um valor aproximado de
.
4. Tomando
, calcule o valor da soma truncada até
.
Multiplicando em ambos os lados por 2, obtenha um valor aproximado de
.
3. Tomando
4. Tomando
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. São pedidos:
- Usando o teorema binomial, escrever os primeiros termos da série de Taylor centrada em
(isto é, a expansão em série de potências de ) de forma detalhada. - Tomar
, calcular a soma truncada até da série e, multiplicando por , obter uma aproximação de . - Tomar
, calcular a soma truncada até e, multiplicando por , obter uma aproximação de . - Tomar
, calcular a soma truncada até e, multiplicando por , obter uma aproximação de .
Informações relevantes dadas: a função
, queremos expansão ao redor de
e somas truncadas até o termo
para três valores de
.
Passo 2
Vamos construir a série usando a forma generalizada do teorema binomial para expoente real. O teorema diz que, para
,
onde o coeficiente binomial generalizado é
com
.
Aqui
. Vamos calcular explicitamente
para
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Expliquei passo a passo como cada fator do numerador vem de
e depois dividimos por
.
Passo 3
Substituindo os coeficientes obtidos na série, os primeiros termos (até
) da expansão de Taylor centrada em
são:
Isto é a série truncada até
; nas próximas etapas vamos avaliar essa soma truncada em cada
pedido.
Passo 4
Tomando
. Vamos calcular termo a termo (mostro frações exatas e decimais):
Termos:
Somando as frações com denominador comum
obtemos a soma truncada
:
Multiplicando por
(lembre que
) obtemos a aproximação:
Passo 5
Tomando
. Calculando termo a termo:
Termos:
Somando com denominador comum
obtemos:
Multiplicando por
(pois
) obtemos a aproximação:
Passo 6
Tomando
. Calculando termo a termo:
Termos:
Somando com denominador comum
obtemos:
Multiplicando por
(pois
) obtemos a aproximação:
Resposta
Para
Para
Para