Considere a função
dada por
.
- Encontre a série de Taylor centrada em 0 de
.
- Verifique que a função é de fato igual à sua série de Taylor utilizando a série geométrica.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
- Encontrar a série de Taylor centrada em
(ou seja, a série de Maclaurin) de . - Verificar que a função é igual à sua série de Taylor utilizando a série geométrica.
Informações relevantes dadas: o domínio
e a expressão explícita
. Nada mais é pedido além de obter a série centrada em
e mostrar que ela realmente representa
nesse domínio.
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática que usamos para construir uma série de Taylor centrada em
(Maclaurin). A série de Taylor de
em torno de
é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Aqui:
-
é o fatorial de (por exemplo, ), -
é a potência de , - e a razão
é o coeficiente do termo na série.
Nosso trabalho prático será calcular
para todo
e então montar a soma acima.
Passo 3
Calculemos as derivadas de
para ver o padrão. Primeiro derivadas iniciais (com explicação passo a passo):
-
. - Derivando uma vez, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é vezes a derivada de que é . Esses dois sinais se anulam, então
- Derivando de novo:
- Mais uma:
Observando:
,
,
,
. Isso sugere a fórmula geral
Passo 4
Agora fazemos uma prova por indução rápida do padrão para ficar rigoroso e para você levar esse método para a prova:
Base
:
— OK.
Passo indutivo: suponha que
. Então a derivada é
Logo a fórmula vale para
. Assim, por indução, para todo
vale
Passo 5
Avaliando as derivadas em
para obter os coeficientes da série de Maclaurin:
Portanto, o coeficiente geral da série é
Logo a série de Taylor centrada em
fica
Esse é o resultado do item 1: a série candidata é
.
Passo 6
Agora precisamos verificar que a função realmente é igual a essa série no intervalo
. Vamos usar a soma parcial da série geométrica (isso é o que o enunciado pede). Seja a soma parcial até
:
Multiplicando por
(fórmula básica da soma geométrica) obtemos, para
,
Portanto
Passo 7
Tomamos o limite quando
. Se
, então
quando
. Assim
Isso mostra que, para todo
com
(isto é, para
), a série
converge e o seu valor é exatamente
, que é
. Portanto a função é igual à sua série de Taylor no domínio dado.