Considere a função f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\frac{1}{1-x}.
  1. Encontre a série de Taylor centrada em 0 de f.
  2. Verifique que a função é de fato igual à sua série de Taylor utilizando a série geométrica.

Passo 1

O enunciado dá a função f:(-1,1)\to\mathbb{R} definida por f(x)=\dfrac{1}{1-x} e pede duas coisas:
  1. Encontrar a série de Taylor centrada em 0 (ou seja, a série de Maclaurin) de f.
  2. Verificar que a função é igual à sua série de Taylor utilizando a série geométrica.
Informações relevantes dadas: o domínio (-1,1) e a expressão explícita f(x)=\dfrac{1}{1-x}. Nada mais é pedido além de obter a série centrada em 0 e mostrar que ela realmente representa f(x) nesse domínio.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática que usamos para construir uma série de Taylor centrada em 0 (Maclaurin). A série de Taylor de f em torno de 0 é
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Aqui:
  • n! é o fatorial de n (por exemplo, 3! = 6),
  • x^{n} é a potência de x,
  • e a razão \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} é o coeficiente do termo x^{n} na série.
Nosso trabalho prático será calcular f^{(n)}(0) para todo n e então montar a soma acima.

Passo 3

Calculemos as derivadas de f(x)=(1-x)^{-1} para ver o padrão. Primeiro derivadas iniciais (com explicação passo a passo):
  • f(x)=(1-x)^{-1}.
  • Derivando uma vez, usamos a regra da cadeia: a derivada de (1-x)^{-1} é -1(1-x)^{-2} vezes a derivada de (1-x) que é -1. Esses dois sinais (-1)\cdot(-1) se anulam, então
f'(x)=(1-x)^{-2}.
  • Derivando de novo:
f''(x)=\frac{d}{dx}(1-x)^{-2}= -2(1-x)^{-3}\cdot(-1)=2(1-x)^{-3}.
  • Mais uma:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}2(1-x)^{-3}=2\cdot(-3)(1-x)^{-4}\cdot(-1)=3!\,(1-x)^{-4}.
Observando: f^{(0)}(x)=f(x)=0!\,(1-x)^{-1}, f^{(1)}(x)=1!\,(1-x)^{-2}, f^{(2)}(x)=2!\,(1-x)^{-3}, f^{(3)}(x)=3!\,(1-x)^{-4}. Isso sugere a fórmula geral
f^{(n)}(x)=n!\,(1-x)^{-n-1}.

Passo 4

Agora fazemos uma prova por indução rápida do padrão para ficar rigoroso e para você levar esse método para a prova:
Base n=0: f^{(0)}(x)=f(x)=0!\,(1-x)^{-1} — OK.
Passo indutivo: suponha que f^{(n)}(x)=n!\,(1-x)^{-n-1}. Então a derivada é
f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\big(n!(1-x)^{-n-1}\big)=n!\cdot(-n-1)(1-x)^{-n-2}\cdot(-1)=(n+1)!\,(1-x)^{-n-2}.
Logo a fórmula vale para n+1. Assim, por indução, para todo n\ge0 vale
f^{(n)}(x)=n!\,(1-x)^{-n-1}.

Passo 5

Avaliando as derivadas em 0 para obter os coeficientes da série de Maclaurin:
f^{(n)}(0)=n!\,(1-0)^{-n-1}=n!\,.
Portanto, o coeficiente geral da série é
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{n!}{n!}=1.
Logo a série de Taylor centrada em 0 fica
\sum_{n=0}^{\infty} 1\cdot x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
Esse é o resultado do item 1: a série candidata é \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.

Passo 6

Agora precisamos verificar que a função realmente é igual a essa série no intervalo (-1,1). Vamos usar a soma parcial da série geométrica (isso é o que o enunciado pede). Seja a soma parcial até N:
S_N(x)=\sum_{n=0}^{N} x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{N}.
Multiplicando por (1-x) (fórmula básica da soma geométrica) obtemos, para x\neq1,
(1-x)S_N(x)=(1-x)(1+x+\cdots+x^{N})=1 - x^{N+1}.
Portanto
S_N(x)=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}.

Passo 7

Tomamos o limite quando N\to\infty. Se |x|<1, então x^{N+1}\to0 quando N\to\infty. Assim
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\lim_{N\to\infty} S_N(x)=\lim_{N\to\infty}\frac{1-x^{N+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}.
Isso mostra que, para todo x com |x|<1 (isto é, para x\in(-1,1)), a série \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} converge e o seu valor é exatamente \dfrac{1}{1-x}, que é f(x). Portanto a função é igual à sua série de Taylor no domínio dado.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}
\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\quad\text{para }|x|<1

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