Considere a função
g(x)=integral0^x(t^2+2 t) d t
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de g de [0,+infty).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de
a função
g(x)=integral0^x(t^2+2t),dt
O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (para obter a derivada da integral) e o estudo de monotonicidade via sinal de derivada.

Passo 2

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de g é
g'(x)=x^2+2x

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
g'(x)=0Longrightarrow x(x+2)=0
As soluções são x=0 e x=-2, mas como o domínio é [0,+infty), só interessamos x=0.

Passo 4

Analisando o sinal de g'(x)=x(x+2): para x>0, ambos os fatores são positivos, então
g'(x)>0(forall x>0)
Em x=0, temos g'(0)=0.

Passo 5

Como g'(x)>=0 em todo [0,+infty) e g'(x)>0 para x>0, concluímos que g é crescente em [0,+infty) e não existe intervalo de decrescimento.

Resposta

g é crescente em [0,+∞) e não há intervalos de decrescimento.

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