Considere a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}1+y+x, & y \leq 0, x \leq 0 \\\\ 1+y-x, & y \leq 0, x>0 \\\\ 1-y-x, & y>0, x \geq 0 \\\\ 1-y+x, & y>0, x<0\end{array}\right., definida para todos os pares de números reais (x, y).
(a) Desenhe a curva de nível f(x, y)=-1.
(b) Determine o conjunto de todos os valores de k tais que a curva de nível f(x, y)=k não é um conjunto vazio.

Passo 1

O enunciado define a função por partes em quatro regiões do plano:
f(x,y)= \begin{cases} 1+y+x, & y \le 0,\;x \le 0,\\\\ 1+y-x, & y \le 0,\;x>0,\\\\ 1-y-x, & y>0,\;x\ge0,\\\\ 1-y+x, & y>0,\;x<0. \end{cases}
Pede-se (a) desenhar a curva de nível f(x,y)=-1 e (b) achar todos os k tais que f(x,y)=k tem solução.

Passo 2

Em cada região impomos f(x,y)=-1 e isolamos a relação entre x e y.
Para y\le0,\;x\le0:
1 + y + x = -1 \quad\Longrightarrow\quad x + y = -2 \quad\Longrightarrow\quad y = -x - 2.
Para y\le0,\;x>0:
1 + y - x = -1 \quad\Longrightarrow\quad y - x = -2 \quad\Longrightarrow\quad y = x - 2.
Para y>0,\;x\ge0:
1 - y - x = -1 \quad\Longrightarrow\quad -y - x = -2 \quad\Longrightarrow\quad y = 2 - x.
Para y>0,\;x<0:
1 - y + x = -1 \quad\Longrightarrow\quad x - y = -2 \quad\Longrightarrow\quad y = x + 2.

Passo 3

Agora imponho as desigualdades de domínio para cada reta:
Para y=-x-2 com x\le0 e y\le0 temos -x-2\le0 \Rightarrow x\ge-2. Logo x\in[-2,0].
Para y=x-2 com x>0 e y\le0 temos x-2\le0 \Rightarrow x\le2. Logo x\in(0,2].
Para y=2-x com x\ge0 e y>0 temos 2-x>0 \Rightarrow x<2. Logo x\in[0,2).
Para y=x+2 com x<0 e y>0 temos x+2>0 \Rightarrow x>-2. Logo x\in(-2,0).

Passo 4

Os extremos dessas faixas de x geram vértices em:
(-2,0),\quad(0,-2),\quad(2,0),\quad(0,2).
Cada segmento une dois desses pontos, descrevendo um losango convexo centrado na origem.

Passo 5

(a) A curva de nível f(x,y)=-1 é exatamente o losango de vértices
(0,-2)\to(2,0)\to(0,2)\to(-2,0)\to(0,-2).
Em cada aresta a equação é uma das retas do Passo 2, limitada ao intervalo de x do Passo 3.

Passo 6

(b) Para determinar para quais k existe (x,y) com f(x,y)=k, note que em cada região a função é do tipo
\pm x\pm y+1.
Como x,y podem crescer em valor absoluto, o valor mínimo de cada ramo é -\infty.
O valor máximo ocorre no ponto mais próximo da origem e é 1.
Portanto o alcance global de f é (-\infty,1], e as curvas de nível existem exatamente quando k\le1.

Resposta

(a) A curva f(x,y)=-1 é o losango de vértices (0,-2), (2,0), (0,2), (-2,0), formado pelas retas
\;y=-x-2 em [-2,0],
\;y=x-2 em (0,2],
\;y=2-x em [0,2),
\;y=x+2 em (-2,0).
(b) O conjunto dos k tais que a curva de nível f(x,y)=k não é vazio é
(-\infty,\,1].

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