Seja f:[0,1] \times[0,1] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\alpha e \frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 para todos os pontos \left.\left(x_{0}, y_{0}\right) \in\right] 0,1[\times] 0,1[.
(a) Se f(0,0)=2 / \pi, quanto valem f(0,0.5) e f(0.5,0.5) ?
(b) Encontre uma expressão para f(x, y).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua f:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R} que satisfaz
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\alpha e
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0
para todo (x_0,y_0) em ]0,1[\times]0,1[, e que f(0,0)=\tfrac{2}{\pi}.
(a) Queremos f(0,0.5) e f(0.5,0.5).
(b) Queremos uma expressão geral para f(x,y).

Passo 2

Como \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0 em toda a região interior e f é contínua até a fronteira, concluímos que f não depende de y. Logo existe uma função univariada g tal que
f(x,y)=g(x).

Passo 3

Pelo enunciado, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g'(x)=\alpha para todo x\in]0,1[. Integrando em x, obtemos
g(x)=\alpha\,x + C,
onde C é constante.

Passo 4

Usamos a condição f(0,0)=g(0)=C=\tfrac{2}{\pi}. Assim
f(x,y)=\alpha\,x + \frac{2}{\pi}.

Passo 5

Basta avaliar nos pontos pedidos:
f(0,0.5)=\alpha\cdot0 + \frac{2}{\pi}=\frac{2}{\pi},
f(0.5,0.5)=\alpha\cdot0.5 + \frac{2}{\pi}=\frac{\alpha}{2}+\frac{2}{\pi}.

Resposta

(a) f(0,0.5)=\tfrac{2}{\pi} e f(0.5,0.5)=\tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{2}{\pi}.
(b) \displaystyle f(x,y)=\alpha\,x+\frac{2}{\pi}.

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