Seja
uma função contínua tal que
e
para todos os pontos
.
(a) Se
, quanto valem
e
?
(b) Encontre uma expressão para
.
(a) Se
(b) Encontre uma expressão para
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua
que satisfaz
e
para todo em
, e que
.
(a) Queremos e
.
(b) Queremos uma expressão geral para .
para todo
(a) Queremos
(b) Queremos uma expressão geral para
Passo 2
Como
em toda a região interior e
é contínua até a fronteira, concluímos que
não depende de
. Logo existe uma função univariada
tal que
Passo 3
Pelo enunciado,
para todo
. Integrando em
, obtemos
onde
é constante.
Passo 4
Usamos a condição
. Assim
Passo 5
Basta avaliar nos pontos pedidos:
Resposta
(a)
e
(b)
(b)