(2,0) Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
(1,0)() A curva representada pelas equações \left\{\begin{array}{l}x=2 r \operatorname{cotg}(t) \\\ y=2 r \operatorname{sen}^{2}(t)\end{array}, t \in(0, \pi)\right., onde r é uma constante positiva, é crescente para t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right).

Passo 1

O enunciado trata de uma curva paramétrica dada por
\begin{cases} x=2r\cot(t)\\\ y=2r\sin^2(t) \end{cases}
com o parâmetro em t\in(0,\pi). Queremos saber se a curva é crescente para t\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), ou seja, se ambas as componentes x(t) e y(t) aumentam quando t cresce. Para isso, vamos calcular \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}.

Passo 2

Derivando x(t)=2r\cot(t), obtemos
\frac{dx}{dt} =2r\cdot\frac{d}{dt}\bigl(\cot(t)\bigr) =2r\bigl(-\csc^2(t)\bigr) =-2r\csc^2(t).
Como r>0 e \csc^2(t)>0 em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), segue que
\frac{dx}{dt}<0.

Passo 3

Derivando y(t)=2r\sin^2(t), temos
\frac{dy}{dt} =2r\cdot2\sin(t)\cos(t) =4r\sin(t)\cos(t).
Em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), \sin(t)>0 e \cos(t)>0, logo
\frac{dy}{dt}>0.

Passo 4

Como \frac{dx}{dt}<0 e \frac{dy}{dt}>0 em t\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), a componente x decresce enquanto y cresce. Portanto a curva não é crescente nesse intervalo.

Resposta

Falso.

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