(2,0) Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
(1,0)() A função f(x)=(x+1)^{\sqrt{x}} não é derivável em \mathrm{x}=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdadeiro ou falso que a função
f(x) = (x+1)^{\sqrt{x}}
não é derivável em x=0. O conteúdo é derivabilidade no extremo de um intervalo (aqui x\ge0), o que exige checar continuidade em 0 e o limite do quociente de diferença pelo lado direito.

Passo 2

Para ser derivável em 0, primeiro f deve ser contínua em 0. Definimos
f(0)=1^0\equiv1.
Verificamos o limite lateral:
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\exp\bigl(\sqrt{x}\,\ln(1+x)\bigr).
Como \ln(1+x)\sim x para x\to0, temos \sqrt{x}\,\ln(1+x)=x^{3/2}+o(x^{3/2})\to0, logo
\lim_{x\to0^+}f(x)=\exp(0)=1=f(0).
Assim, f é contínua em 0.

Passo 3

A derivada em 0 (no extremo esquerdo do domínio) é o limite
f'(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{(1+h)^{\sqrt{h}}-1}{h}.

Passo 4

Escrevemos
(1+h)^{\sqrt{h}} =\exp\bigl(\sqrt{h}\,\ln(1+h)\bigr) =\exp\bigl(h^{3/2}+o(h^{3/2})\bigr) =1+h^{3/2}+o(h^{3/2}).
Então
\frac{(1+h)^{\sqrt{h}}-1}{h} =\frac{h^{3/2}+o(h^{3/2})}{h} =h^{1/2}+o(h^{1/2}) \;\xrightarrow[h\to0^+]{}\;0.
Portanto, o limite existe e vale 0, ou seja f'(0)=0.

Resposta

A afirmação é falsa: a função é derivável em x=0, com f'(0)=0.

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