Considere a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2 x^{3}+3 y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { , se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..
(Valor 1.0) Calcule \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2x^{3}+3y^{3}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}(0,0). Vamos usar a definição de derivada parcial em (0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.

Passo 2

Para isso, calculamos f(0,y) quando y\neq0. Substituindo x=0 na fórmula de f para (x,y)\neq(0,0),
f(0,y) =\frac{2\cdot0^{3}+3y^{3}}{0^{2}+y^{2}} =\frac{3y^{3}}{y^{2}} =3y.

Passo 3

Agora montamos o quociente de diferença para a derivada parcial:
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\frac{3h-0}{h} =\frac{3h}{h} =3,
para todo h\neq0.

Passo 4

Tomando o limite quando h\to0,
\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}3 =3.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=3.

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