1. (1.5) Dada A superficie z=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2}, determinar a reta tangente à curva de interseção da superficie com o plano y=2, no ponto P(\sqrt{3}, 2,3).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a superfície \displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2} e o plano \displaystyle y=2. Queremos encontrar a reta tangente à curva de interseção dessas superfícies no ponto P(\sqrt{3},2,3). Vamos parametrizar a curva, calcular seu vetor tangente e então montar a equação da reta.

Passo 2

Substituindo y=2 na equação da superfície, obtemos
z = \sqrt{x^{2}+4+2} = \sqrt{x^{2}+6}.
Parametrizamos por x=t, definindo
\mathbf r(t) = \bigl(t,\,2,\,\sqrt{t^{2}+6}\bigr).
Para t_{0}=\sqrt{3} temos
\mathbf r(\sqrt{3}) = \bigl(\sqrt{3},\,2,\,\sqrt{3+6}\bigr) = (\sqrt{3},\,2,\,3) = P,
logo P realmente pertence à curva.

Passo 3

O vetor tangente à curva é dado por
\mathbf r'(t) = \bigl(1,\,0,\,\tfrac{t}{\sqrt{t^{2}+6}}\bigr).
Em t=\sqrt{3} isso vale
\mathbf r'(\sqrt{3}) = \Bigl(1,\,0,\,\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}}\Bigr) = \Bigl(1,\,0,\,\tfrac{\sqrt{3}}{3}\Bigr).

Passo 4

A reta tangente em P passa por P e tem direção \mathbf r'(\sqrt{3}). Portanto, sua forma paramétrica é
\mathbf L(s) = (\sqrt{3},\,2,\,3) + s\Bigl(1,\,0,\,\tfrac{\sqrt{3}}{3}\Bigr),
ou explicitamente
x = \sqrt{3} + s,\quad y = 2,\quad z = 3 + \tfrac{\sqrt{3}}{3}\,s.

Resposta

A reta tangente é
\mathbf L(s) = (\sqrt{3},2,3) + s\Bigl(1,0,\tfrac{\sqrt{3}}{3}\Bigr),
isto é,
x = \sqrt{3} + s,\quad y = 2,\quad z = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3}\,s.

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