Considere a função
dada por
(a) Determine os pontos críticos de
sujeitos à condição
.
(b) Estude a natureza dos pontos críticos encontrados, isto é, quais são pontos de mínimo local, máximo local e pontos de sela.
(c) Conclua que, para quaisquer números
que satisfazem
, vale a desigualdade
(b) Estude a natureza dos pontos críticos encontrados, isto é, quais são pontos de mínimo local, máximo local e pontos de sela.
(c) Conclua que, para quaisquer números
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
com a restrição linear
O que se pede:
(a) determinar os pontos críticos de sujeitos à restrição
(e respeitando
);
(b) classificar a natureza desses pontos críticos (mínimo local, máximo local, sela);
(c) concluir a desigualdade
(a) determinar os pontos críticos de
(b) classificar a natureza desses pontos críticos (mínimo local, máximo local, sela);
(c) concluir a desigualdade
para todos
com
.
Passo 2
Procurando pontos críticos interiores (ou seja, com
) usamos multiplicadores de Lagrange. Vou explicar o método rapidinho: para otimizar
com a restrição
construímos a função de Lagrange
A condição de estacionaridade pede derivadas parciais nulas:
além da restrição
.
Das três primeiras equações obtemos
Como estamos no interior com
, segue
. Usando
temos
Portanto há um candidato crítico interior em
.
Passo 3
Agora avaliamos a natureza desse ponto crítico usando a segunda derivada restrita (explico o raciocínio): o Hessiano de
é diagonal porque
é soma de funções separadas:
pois
, etc. Para a restrição
a direção admissível (espaço tangente) é o subespaço
A forma quadrática associada à variação segunda (no ponto crítico) é
No ponto
temos
. Logo, para
,
Se
e
então
, portanto
. Isso significa que a forma quadrática é positiva definida no espaço tangente, logo o ponto
é um mínimo local em relação à restrição
. Observação útil: para funções convexas, qualquer mínimo local é global — vou usar isso depois.
Passo 4
Agora precisamos tratar pontos críticos que possam ocorrer na fronteira do domínio (
ou
podendo ser
). A fronteira relevante, com a restrição
, é o triângulo com vértices
e arestas onde uma coordenada é zero. Devemos analisar as faces (arestas) separadamente.
Considere a face
. Então
e
. Reduzimos o problema a duas variáveis:
Aplicando Lagrange novamente (ou simplesmente usar simetria) obtemos condições
Como
segue
. Com
temos
Pelos mesmos motivos, nas outras arestas aparecem os pontos
,
e
.
Também consideramos os vértices onde duas coordenadas são zero:
,
,
. Esses pontos são triviais candidatos (satisfazem a restrição e as desigualdades de não-negatividade).
Passo 5
Vamos comparar os valores de
nos pontos críticos encontrados:
Portanto os valores obedecem
Passo 6
Classificação fina da natureza:
-
O ponto
é mínimo local (por teste da forma quadrática no espaço tangente) e, como é convexa em (o Hessiano tem entradas , logo é semidefinido positivo), qualquer mínimo local é global. Assim é o mínimo global restrito ao triângulo. -
Os pontos
e as permutações são pontos críticos quando se restringe à aresta correspondente; restritos àquela aresta são mínimos locais da função nessa aresta (porque na aresta a segunda derivada restrita é positiva). Contudo, considerando vizinhanças no triângulo inteiro, esses pontos não são mínimos: existe direção entrando no interior (aumentando a coordenada zero e diminuindo as outras duas) que diminui o valor de . Por exemplo, a variação com pequena reduz em relação a . Então esses pontos são pontos de sela no problema com a restrição completa (mínimos nas arestas, mas não mínimos no triângulo). -
Os vértices
e permutações têm o maior valor e, por comparação com valores próximos, são máximos (de fato máximos globais no triângulo): pequenas perturbações que levam massa para as outras coordenadas diminuem . Logo são máximos locais e também máximos globais.
Passo 7
Conclusão para (c). Como
é o mínimo global sobre o conjunto
, para quaisquer
com
vale
Isto prova a desigualdade pedida.
Resposta
(a) Pontos críticos sujeitos à restrição
e
:
,
e suas permutações, e
e suas permutações.
(b) Natureza:
é mínimo local (e mínimo global);
e permutações são pontos de sela (mínimos ao longo da aresta, mas não mínimos no triângulo);
e permutações são máximos locais (e máximos globais).
(c) Para
com
vale