Questão 3) Para cada função a seguir, encontre a derivada:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
Informações dadas:
- A função está definida por uma raiz cúbica aplicada a uma razão
. - É necessário calcular
.
Passo 2
Primeiro reescrevo a função com potência, que facilita aplicar regras de derivação:
Isto mostra claramente uma função composta: uma função exterior que é a potência
e uma função interior que é
. Vou usar a regra da cadeia.
Passo 3
Regra da cadeia (recordando com calma): se
então
Aqui tomo
Derivada de
em termos de
(usando a regra da potência): para
,
Portanto, pela regra da cadeia,
onde
.
Passo 4
Agora calculo
usando a regra do quociente. Regra do quociente: se
com
e
diferenciáveis, então
Aqui
e
. Tem-se
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 5
Volto para a expressão da derivada usando
:
Multiplico as constantes:
Agora simplifico a potência negativa usando a propriedade
:
Separando potências de
:
Como
, obtemos
Passo 6
Comentário final sobre domínio e onde a expressão vale: a função original exige
(denominador zero). A expressão encontrada para
também não está definida em
e, por causa de potências com expoente negativo em
, a fórmula dada para
não é finita em
(ali ocorre comportamento singular da derivada). Fora esses pontos, a fórmula é válida.