Questão 3) Para cada função a seguir, encontre a derivada:
y=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}\

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função
y=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}.
Informações dadas:
  • A função está definida por uma raiz cúbica aplicada a uma razão \dfrac{x-1}{x+1}.
  • É necessário calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro reescrevo a função com potência, que facilita aplicar regras de derivação:
y=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{1/3}.
Isto mostra claramente uma função composta: uma função exterior que é a potência u^{1/3} e uma função interior que é u(x)=\dfrac{x-1}{x+1}. Vou usar a regra da cadeia.

Passo 3

Regra da cadeia (recordando com calma): se y=f(g(x)) então
(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui tomo
f(u)=u^{1/3},\qquad g(x)=u(x)=\frac{x-1}{x+1}.
Derivada de f em termos de u (usando a regra da potência): para f(u)=u^{1/3},
f'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3}.
Portanto, pela regra da cadeia,
y'=\frac{1}{3}\,u(x)^{-2/3}\cdot u'(x)
onde u(x)=\dfrac{x-1}{x+1}.

Passo 4

Agora calculo u'(x) usando a regra do quociente. Regra do quociente: se u=\dfrac{p}{q} com p e q diferenciáveis, então
u'=\frac{p' q - p q'}{q^2}.
Aqui p(x)=x-1 e q(x)=x+1. Tem-se p'(x)=1 e q'(x)=1. Aplicando a fórmula:
u'(x)=\frac{(1)(x+1)-(x-1)(1)}{(x+1)^2} =\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} =\frac{2}{(x+1)^2}.

Passo 5

Volto para a expressão da derivada usando u'(x):
y'=\frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-2/3}\cdot\frac{2}{(x+1)^2}.
Multiplico as constantes:
y'=\frac{2}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-2/3}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}.
Agora simplifico a potência negativa usando a propriedade \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-2/3}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2/3}:
y'=\frac{2}{3}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}.
Separando potências de (x+1):
\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}\cdot\frac{1}{(x+1)^2} =\frac{(x+1)^{2/3}}{(x-1)^{2/3}}\cdot (x+1)^{-2} =\frac{1}{(x-1)^{2/3}}\cdot (x+1)^{2/3-2}.
Como 2/3-2=-4/3, obtemos
y'=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2/3}}\cdot (x+1)^{-4/3} =\frac{2}{3\,(x-1)^{2/3}(x+1)^{4/3}}.

Passo 6

Comentário final sobre domínio e onde a expressão vale: a função original exige x\neq -1 (denominador zero). A expressão encontrada para y' também não está definida em x=-1 e, por causa de potências com expoente negativo em (x-1), a fórmula dada para y' não é finita em x=1 (ali ocorre comportamento singular da derivada). Fora esses pontos, a fórmula é válida.

Resposta

y'=\frac{2}{3\,(x-1)^{2/3}(x+1)^{4/3}}

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