Um projétil, para se fazer uma análise nos estudos de Mecânica Celeste é disparado com ângulo de elevação de
. Com que velocidade o projétil, sai da base se o máximo de altura que ele atinge é de 500 km ?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Ângulo de elevação inicial:
. - Altura máxima atingida:
. - Pergunta: com que velocidade (módulo da velocidade inicial) o projétil sai da base? Ou seja, encontrar
.
Observações imediatas que vou usar mais adiante (não é resolução ainda): é preciso converter a altura para unidades do SI (metros) e usar a relação entre a componente vertical da velocidade inicial e a altura máxima para um movimento sob gravidade constante.
Passo 2
Ideia física e fórmula fundamental (aula mini): em lançamento oblíquo, a velocidade inicial tem duas componentes: horizontal e vertical. A componente vertical inicial é
onde
é o módulo da velocidade inicial (o que queremos) e
é o ângulo de elevação.
No movimento vertical sob aceleração gravitacional uniforme
(tomando
positivo como módulo, direção para baixo), a relação cinemática que liga velocidade e deslocamento é
onde
é a velocidade vertical em um instante e
é o deslocamento vertical (positiva para cima). No ponto de altura máxima vale
e
. Assim obtemos a fórmula muito usada para altura máxima:
Nessa fórmula:
-
é a altura máxima (metros), -
é a velocidade inicial (m/s), -
é o ângulo de lançamento, -
é a aceleração da gravidade (módulo), que vou tomar como (aproximação usual para problemas de primeira ordem).
A partir dessa fórmula isolamos
:
Vou usar essa expressão para calcular o valor numérico.
Passo 3
Conversões e valores numéricos que vou usar (tudo em SI):
- Converter
para metros: . Escrevo em TeX:
- Tomo
. - Ângulo:
e .
Passo 4
Calcular a raiz que aparece no numerador, que é a componente vertical necessária:
Faço dentro do radical:
Logo
Passo 5
Agora uso a fórmula para
:
Substituindo
e o valor calculado:
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
Passo 6
Observações finais (didática e aproximações):
- Usei a aproximação de gravidade constante
. Para uma altura de a variação real de em relação ao nível do mar não é totalmente desprezível, mas para exercícios de mecânica básica essa aproximação é a esperada em prova. Se quisermos considerar a variação de com a altitude o cálculo fica mais complexo (integração usando a lei de gravitação), e o resultado mudaria um pouco (poucas dezenas de porcento). - Intuitivamente: obtivemos uma velocidade inicial da ordem de
, que é da mesma ordem de grandeza das velocidades orbitais baixas (por isso 500 km é uma altitude já espacial).