Um projétil, para se fazer uma análise nos estudos de Mecânica Celeste é disparado com ângulo de elevação de 30^{\circ}. Com que velocidade o projétil, sai da base se o máximo de altura que ele atinge é de 500 km ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Ângulo de elevação inicial: \theta = 30^\circ.
  • Altura máxima atingida: h_{\max} = 500\\ \text{km}.
  • Pergunta: com que velocidade (módulo da velocidade inicial) o projétil sai da base? Ou seja, encontrar v_0.
Observações imediatas que vou usar mais adiante (não é resolução ainda): é preciso converter a altura para unidades do SI (metros) e usar a relação entre a componente vertical da velocidade inicial e a altura máxima para um movimento sob gravidade constante.

Passo 2

Ideia física e fórmula fundamental (aula mini): em lançamento oblíquo, a velocidade inicial tem duas componentes: horizontal e vertical. A componente vertical inicial é
v_{0y} = v_0 \sin\theta,
onde v_0 é o módulo da velocidade inicial (o que queremos) e \theta é o ângulo de elevação.
No movimento vertical sob aceleração gravitacional uniforme g (tomando g positivo como módulo, direção para baixo), a relação cinemática que liga velocidade e deslocamento é
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g\Delta y,
onde v_y é a velocidade vertical em um instante e \Delta y é o deslocamento vertical (positiva para cima). No ponto de altura máxima vale v_y=0 e \Delta y = h_{\max}. Assim obtemos a fórmula muito usada para altura máxima:
h_{\max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}.
Nessa fórmula:
  • h_{\max} é a altura máxima (metros),
  • v_0 é a velocidade inicial (m/s),
  • \theta é o ângulo de lançamento,
  • g é a aceleração da gravidade (módulo), que vou tomar como g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2} (aproximação usual para problemas de primeira ordem).
A partir dessa fórmula isolamos v_0:
v_0 = \frac{\sqrt{2 g h_{\max}}}{\sin\theta}.
Vou usar essa expressão para calcular o valor numérico.

Passo 3

Conversões e valores numéricos que vou usar (tudo em SI):
  • Converter h_{\max} para metros: 500\\ \text{km} = 500\times 10^{3}\\ \text{m} = 500000\\ \text{m}. Escrevo em TeX:
h_{\max} = 500000\\ \mathrm{m}.
  • Tomo g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Ângulo: \theta = 30^\circ e \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular a raiz que aparece no numerador, que é a componente vertical necessária:
\sqrt{2 g h_{\max}} = \sqrt{2\cdot 9,8 \cdot 500000}.
Faço dentro do radical:
2\cdot 9,8 \cdot 500000 = 9{,}8\times 10^{6}.
Logo
\sqrt{2 g h_{\max}} = \sqrt{9{,}8\times 10^{6}} = \sqrt{9{,}8}\times 10^{3} \approx 3{,}130495\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora uso a fórmula para v_0:
v_0 = \frac{\sqrt{2 g h_{\max}}}{\sin\theta}.
Substituindo \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2} e o valor calculado:
v_0 = \frac{3{,}130495\times 10^{3}}{\tfrac{1}{2}} = 2\cdot 3{,}130495\times 10^{3} \approx 6{,}26099\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
v_0 \approx 6{,}26\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s} = 6260\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Observações finais (didática e aproximações):
  • Usei a aproximação de gravidade constante g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Para uma altura de 500\\ \text{km} a variação real de g em relação ao nível do mar não é totalmente desprezível, mas para exercícios de mecânica básica essa aproximação é a esperada em prova. Se quisermos considerar a variação de g com a altitude o cálculo fica mais complexo (integração usando a lei de gravitação), e o resultado mudaria um pouco (poucas dezenas de porcento).
  • Intuitivamente: obtivemos uma velocidade inicial da ordem de 6{,}3\\ \text{km/s}, que é da mesma ordem de grandeza das velocidades orbitais baixas (por isso 500 km é uma altitude já espacial).

Resposta

v_0 \approx 6{,}26\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}

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