(Ufrgs 2014) Considere os polinômios p(x)=x^{3} e q(x)=x^{2}+x. O número de soluções da equação p(x)=q(x), no conjunto dos números reais, é
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 3 .
e) 4 .

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios e pede quantas soluções reais tem a equação p(x)=q(x). Dados fornecidos:
  • p(x)=x^{3}.
  • q(x)=x^{2}+x.
Pergunta a responder:
  • Qual o número de soluções da equação p(x)=q(x) no conjunto dos números reais?

Passo 2

Estratégia (em palavras simples): igualar p(x) e q(x), passar tudo para um lado para obter um polinômio igual a zero e então fatorar esse polinômio. As raízes do polinômio fatorado são as soluções da equação. Vou explicar os conceitos usados quando aparecerem.

Passo 3

Igualando p(x) e q(x) e colocando tudo em um lado:
x^{3}=x^{2}+x
x^{3}-x^{2}-x=0

Passo 4

Fatorar um polinômio: primeiro passo é sempre procurar um fator comum. Aqui todos os termos têm fator comum x. Fatorando x obtemos:
x^{3}-x^{2}-x = x\bigl(x^{2}-x-1\bigr).
Explicação do porquê: ao tirar x de cada termo, sobra x^{2} do primeiro, -x do segundo e -1 do terceiro; multiplicando de volta obtém-se o polinômio original.

Passo 5

Da fatoração, a equação x\bigl(x^{2}-x-1\bigr)=0 tem solução quando algum fator é zero. Pelo princípio do produto nulo:
  • Se x=0, então a equação é satisfeita. Logo x=0 é uma solução real.

Passo 6

Agora resolver a equação quadrática
x^{2}-x-1=0.
Vou usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Para uma equação quadrática geral ax^{2}+bx+c=0, as soluções são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta (o discriminante) é
\Delta=b^{2}-4ac.
Aqui a=1, b=-1, c=-1. A interpretação do discriminante: se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla; se \Delta<0 não há raízes reais.

Passo 7

Calcular o discriminante para x^{2}-x-1:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5.
Como \Delta=5>0, a quadrática tem duas raízes reais distintas.
Aplicando a fórmula:
x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Portanto as duas soluções reais vindas da quadrática são x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} e x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.

Passo 8

Resumo das soluções reais encontradas:
  • x=0,
  • x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},
  • x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.
São três soluções reais distintas no total.

Resposta

d) 3.

Exercícios relacionados