(Ufrgs 2014) Considere os polinômios
e
. O número de soluções da equação
, no conjunto dos números reais, é
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 3 .
e) 4 .
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 3 .
e) 4 .
Passo 1
O enunciado dá dois polinômios e pede quantas soluções reais tem a equação
. Dados fornecidos:
-
. -
.
Pergunta a responder:
- Qual o número de soluções da equação
no conjunto dos números reais?
Passo 2
Estratégia (em palavras simples): igualar
e
, passar tudo para um lado para obter um polinômio igual a zero e então fatorar esse polinômio. As raízes do polinômio fatorado são as soluções da equação. Vou explicar os conceitos usados quando aparecerem.
Passo 3
Igualando
e
e colocando tudo em um lado:
Passo 4
Fatorar um polinômio: primeiro passo é sempre procurar um fator comum. Aqui todos os termos têm fator comum
. Fatorando
obtemos:
Explicação do porquê: ao tirar
de cada termo, sobra
do primeiro,
do segundo e
do terceiro; multiplicando de volta obtém-se o polinômio original.
Passo 5
Da fatoração, a equação
tem solução quando algum fator é zero. Pelo princípio do produto nulo:
- Se
, então a equação é satisfeita. Logo é uma solução real.
Passo 6
Agora resolver a equação quadrática
Vou usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Para uma equação quadrática geral
, as soluções são dadas por
onde
(o discriminante) é
Aqui
,
,
. A interpretação do discriminante: se
há duas raízes reais distintas; se
há uma raiz real dupla; se
não há raízes reais.
Passo 7
Calcular o discriminante para
:
Como
, a quadrática tem duas raízes reais distintas.
Aplicando a fórmula:
Portanto as duas soluções reais vindas da quadrática são
e
.
Passo 8
Resumo das soluções reais encontradas:
-
, -
, -
.
São três soluções reais distintas no total.
Resposta
d) 3.