Considere a função
limitada pelo eixo
e no intervalo [1, 2]. Calcule:
O volume do sólido de revolução desta região em torno do eixo
.
O volume do sólido de revolução desta região em torno do eixo
Passo 1
Estamos lidando com a função f(x)=x²−1 no intervalo [1,2], limitada pelo eixo x, e queremos girar essa região em torno do eixo x. O conteúdo aqui é volume de sólido de revolução, e vamos usar o método dos discos (ou fatias) com integrais definidas.
Passo 2
Pelo método dos discos, o volume V é dado por integrar a área de cada disco ao longo de x:
V = ∫₁² π [raio(x)]² dx
Aqui o raio do disco é a altura da curva acima do eixo x, ou seja, raio(x)=f(x)=x²−1.
V = ∫₁² π [raio(x)]² dx
Aqui o raio do disco é a altura da curva acima do eixo x, ou seja, raio(x)=f(x)=x²−1.
Passo 3
Substituindo o raio em V, temos
Passo 4
Para calcular essa integral, primeiro expandimos o quadrado:
Agora integramos termo a termo:
Passo 5
Avaliaremos essa primitiva de 1 até 2:
Calculando cada parte:
Portanto, a integral vale 38/15, e o volume é esse valor multiplicado por π.
Resposta
\frac{38\pi}{15}