Considere a função f(x)=x^2-1 limitada pelo eixo x e no intervalo [1, 2]. Calcule:
O volume do sólido de revolução desta região em torno do eixo x.

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x)=x²−1 no intervalo [1,2], limitada pelo eixo x, e queremos girar essa região em torno do eixo x. O conteúdo aqui é volume de sólido de revolução, e vamos usar o método dos discos (ou fatias) com integrais definidas.

Passo 2

Pelo método dos discos, o volume V é dado por integrar a área de cada disco ao longo de x:
V = ∫₁² π [raio(x)]² dx
Aqui o raio do disco é a altura da curva acima do eixo x, ou seja, raio(x)=f(x)=x²−1.

Passo 3

Substituindo o raio em V, temos
V=π∫₁²(x²−1)² dx ²²²

Passo 4

Para calcular essa integral, primeiro expandimos o quadrado:
(x²−1)² = x⁴ −2x² +1 ²²²
Agora integramos termo a termo:
∫(x⁴ −2x² +1) dx = x⁵5 −2x³3 + x + C ²³

Passo 5

Avaliaremos essa primitiva de 1 até 2:
l(x⁵5 −2x³3 + xr)|₁² = l(2⁵5 −2·2³3 + 2r) − l(1⁵5 −2·1³3 + 1r) ³²³³
Calculando cada parte:
= l(325 −163 +2r) − l(15 −23 +1r) = 315 −143 +1 = 3815
Portanto, a integral vale 38/15, e o volume é esse valor multiplicado por π.

Resposta

\frac{38\pi}{15}

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