Faça o que se pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
Calcule: .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+inftyl(1+tfrac23xr)^4x e o conteúdo principal é o limite exponencial que leva à definição da função e^y. Para resolver, vamos precisar reescrever a expressão como uma exponencial usando exp e desenvolver o logaritmo ln(1+u) para pequenos u.

Passo 2

Denominando o limite por L, reescrevemos a potência em forma de exponencial:
L = limxto+inftyl(1+23xr)^4x = expl(limxto+infty4x,lnl(1+tfrac23xr)r)

Passo 3

No interior do exp, vamos analisar 4x,ln(1+u) com u=tfrac23x. Como uto0 quando xto+infty, usamos a expansão em série
ln(1+u)=u-u^22+o(u^2)

Passo 4

Substituindo u=tfrac23x em 4x,ln(1+u) temos:
4xl(tfrac23x-tfrac12l(tfrac23xr)^2+o(x^-2)r) = 4xcdottfrac23x -4xcdottfrac12cdottfrac49x^2+o(1) = 83-49x+o(1)

Passo 5

Fazendo xto+infty no expoente, o termo -4/(9x) some, sobrando 8/3. Logo
limxto+infty4x,lnl(1+tfrac23xr)=83

Passo 6

Portanto o limite original é
L = expl(tfrac83r) = e^8/3

Resposta

e^{8/3}

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