Considere a função f(t)=ll0, & t <= 4 5 t-2, & t>4. Determine a Transformada de Laplace desta função e assinale a alternativa que a contém.
a) e^-2 s(4s^2+5s)
b) e^4 s(5s^2-22s)
c) e^-5 s(5s^2+3s^3)
d) e^-4 s(5s^2+18s)
e) e^-3 s(1s^2+12s)

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Laplace de uma função em partes, logo o conteúdo aqui é a aplicação da propriedade de deslocamento no tempo (teorema do ‘primeiro deslocamento’) e a definição de função degrau para reescrever f(t).

Passo 2

Escrevemos f(t) usando a função degrau unitária u(t−4):
Para t>4 temos f(t)=5t−2, e para t≤4 f(t)=0, então
f(t)=u(t−4)·g(t−4).
Definindo τ=t−4, obtemos g(τ)=5(τ+4)−2=5τ+18.

Passo 3

Agora calculamos a Transformada de Laplace de g(τ):
Pela linearidade,
Lg(τ)=L5τ+L18=5cdot1s^2+18cdot1s=5s^2+18s

Passo 4

Aplicamos o teorema do primeiro deslocamento no tempo: se f(t)=u(t−a)g(t−a) então
[\mathcal{L}{f(t)}=e^{-a s},\mathcal{L}{g(t)|_{t=τ}}.
Aqui a=4, então multiplica-se por e^{-4s}.

Passo 5

Concluímos que
Lf(t)=e^-4sl(5s^2+18sr),
que corresponde à alternativa d).

Resposta

e{-4s}\bigl(\tfrac{5}{s2}+\tfrac{18}{s}\bigr)

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