Considere a função
. Determine a Transformada de Laplace desta função e assinale a alternativa que a contém.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede a Transformada de Laplace de uma função em partes, logo o conteúdo aqui é a aplicação da propriedade de deslocamento no tempo (teorema do ‘primeiro deslocamento’) e a definição de função degrau para reescrever f(t).
Passo 2
Escrevemos f(t) usando a função degrau unitária u(t−4):
Para t>4 temos f(t)=5t−2, e para t≤4 f(t)=0, então
f(t)=u(t−4)·g(t−4).
Definindo τ=t−4, obtemos g(τ)=5(τ+4)−2=5τ+18.
Passo 3
Agora calculamos a Transformada de Laplace de g(τ):
Pela linearidade,
Passo 4
Aplicamos o teorema do primeiro deslocamento no tempo: se f(t)=u(t−a)g(t−a) então
[\mathcal{L}{f(t)}=e^{-a s},\mathcal{L}{g(t)|_{t=τ}}.
Aqui a=4, então multiplica-se por e^{-4s}.
Passo 5
Concluímos que
que corresponde à alternativa d).
Resposta
e{-4s}\bigl(\tfrac{5}{s2}+\tfrac{18}{s}\bigr)