Exercs. 1-10: Determine lim n infty an+1an, e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty 3 n+12^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito de n , onde $ a_{n} = \frac{3n+1}{2^{n}} $. Além disso, precisamos usar o teste da razão para descobrir se a série an+1an converge, diverge ou se o teste não nos dá uma resposta clara. Para resolver isso, vamos precisar entender limites, séries e o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite limn to infty an+1an. Substituindo $ a_{n} $ na expressão, temos:
an

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Somamos as frações no numerador:
3n+1 + 2^n2^n
Agora, dividimos isso por $ \frac{3n+1}{2^{n}} $:
3n+12^n

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ n $ vai para o infinito:
n
Sabemos que $ 2^{n} $ cresce muito mais rápido que $ 3n+1 $, então $ \frac{2^{n}}{3n+1} $ tende ao infinito. Portanto:
limn to infty (1 + 2^n3n+1)

Passo 5

Agora, vamos aplicar o teste da razão para a série sumn=1^infty 3n+12^n. O teste da razão diz que:
L = limn to infty | an+1an |
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 6

Calculando $ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} $:
an+1an

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n

Passo 8

Como $ L = \frac{1}{2} < 1 $, pelo teste da razão, a série L = 12 < 1 converge.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty 3n+12^n converge pelo teste da razão.

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