Exercs. 1-10: Determine , e use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito de , onde $ a_{n} = \frac{3n+1}{2^{n}} $. Além disso, precisamos usar o teste da razão para descobrir se a série converge, diverge ou se o teste não nos dá uma resposta clara. Para resolver isso, vamos precisar entender limites, séries e o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite . Substituindo $ a_{n} $ na expressão, temos:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão. Somamos as frações no numerador:
Agora, dividimos isso por $ \frac{3n+1}{2^{n}} $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ n $ vai para o infinito:
Sabemos que $ 2^{n} $ cresce muito mais rápido que $ 3n+1 $, então $ \frac{2^{n}}{3n+1} $ tende ao infinito. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o teste da razão para a série . O teste da razão diz que:
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 6
Calculando $ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} $:
an+1an
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Passo 8
Como $ L = \frac{1}{2} < 1 $, pelo teste da razão, a série L = 12 < 1 converge.
Resposta
Portanto, a série sumn=1^infty 3n+12^nconverge pelo teste da razão.