Resolver los siguientes ejercicios por el método de separación de variables:
y^prime sen x=y ln y, si y(pi2)=e (Rta. ln y=csc x-cot x )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y',sin x = y,ln y pelo método de separação de variáveis, com a condição inicial yl(tfracpi2r)=e. Aqui o conteúdo é EDOs de primeira ordem separáveis e vamos precisar: isolar termos em y de um lado e em x do outro, integrar ambos os lados e usar a condição inicial.

Passo 2

Começamos separando as variáveis. Escrevemos y'=dydx e obtemos:
dydx,sin x = y,ln y Longrightarrow 1y,ln y,dy = 1sin x,dx

Passo 3

Agora identificamos as duas integrais a calcular:
integral 1y,ln y,dy e integral csc x,dx

Passo 4

Para a integral à esquerda usamos a substituição u=ln y, de modo que du=tfrac1y,dy. Assim
integral 1y,ln y,dy = integral 1u,du = ln|u| + C1 = ln|ln y| + C1

Passo 5

A integral à direita é uma integral conhecida:
integral csc x,dx = lnl|tan(tfracx2)r| + C2

Passo 6

Igualando as duas primitivas e juntando as constantes em C:
ln|ln y| = lnl|tan(tfracx2)r| + C

Passo 7

Exponenciando, obtemos
|ln y| = e^C,l|tan(tfracx2)r|

Passo 8

Podemos incorporar o sinal e a constante e^C numa única constante K, ficando
ln y = K,tan(tfracx2)

Passo 9

Aplicamos a condição inicial x=tfracpi2, onde tan(tfracpi4)=1 e y=e (logo ln y=1), obtendo K=1.

Passo 10

Reconhecendo a identidade trigonométrica tan(tfracx2)=csc x-cot x, chegamos à forma final.

Resposta

ln y = csc x - cot x

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