Resolver los siguientes ejercicios por el método de separación de variables: , si (Rta. )
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial pelo método de separação de variáveis, com a condição inicial . Aqui o conteúdo é EDOs de primeira ordem separáveis e vamos precisar: isolar termos em de um lado e em do outro, integrar ambos os lados e usar a condição inicial.
Passo 2
Começamos separando as variáveis. Escrevemos e obtemos:
Passo 3
Agora identificamos as duas integrais a calcular:
Passo 4
Para a integral à esquerda usamos a substituição , de modo que . Assim
Passo 5
A integral à direita é uma integral conhecida:
Passo 6
Igualando as duas primitivas e juntando as constantes em C:
ln|ln y| = lnl|tan(tfracx2)r| + C
Passo 7
Exponenciando, obtemos
|ln y| = e^C,l|tan(tfracx2)r|
Passo 8
Podemos incorporar o sinal e a constante e^C numa única constante K, ficando
ln y = K,tan(tfracx2)
Passo 9
Aplicamos a condição inicial x=tfracpi2, onde tan(tfracpi4)=1 e y=e (logo ln y=1), obtendo K=1.
Passo 10
Reconhecendo a identidade trigonométrica tan(tfracx2)=csc x-cot x, chegamos à forma final.