Resolver por variables separables:
en
y
.
(Rta.:
)
(Rta.:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial por variáveis separáveis:
Temos a EDO
e a condição inicial
quando
. Vamos usar teoria de EDOs de variáveis separáveis para encontrar a solução implícita e depois explicitar na forma pedida.
Passo 2
Primeiro, expandimos e agrupamos os termos que envolvem
:
Passamos todos os termos com
para um lado:
Colocando
em evidência:
Logo,
Passo 3
Agora separamos as variáveis
e
:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Isso dá
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Usamos a condição inicial
em
para achar
:
Portanto,
Passo 6
Substituindo
na relação geral e reorganizando, obtemos:
Agrupando logs:
Logo,
Elevando exponencial:
Resposta
y,x^{2} = \frac{4a{3}}{e}e{\frac{y}{a}}