Resolver por variables separables: a[x d yd x+2 y]=x y d yd x en y=a y x=2 a.
(Rta.: y cdot x^2=4 a^3e e^ya )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial por variáveis separáveis:
Temos a EDO
al(xdydx+2yr)=x,ydydx
e a condição inicial y=a quando x=2a. Vamos usar teoria de EDOs de variáveis separáveis para encontrar a solução implícita e depois explicitar na forma pedida.

Passo 2

Primeiro, expandimos e agrupamos os termos que envolvem dy/dx:
a xdydx+2a y = x ydydx
Passamos todos os termos com dy/dx para um lado:
a xdydx - x ydydx = -2a y
Colocando dy/dx em evidência:
dydxl(a x - x yr) = -2a y
Logo,
dydx = -2a,yx,(a - y).

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e x:
a - yy,dy = -2adxx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integrall(ay-1r)dy = integral -2adxx
Isso dá
aln y - y = -2aln x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Usamos a condição inicial y=a em x=2a para achar C:
aln a - a = -2aln(2a) + C
Portanto,
C = aln a - a +2aln(2a) = 3aln a +2aln2 - a

Passo 6

Substituindo C na relação geral e reorganizando, obtemos:
aln y - y +2aln x = 3aln a +2aln2 - a
Agrupando logs:
alnl(y,x^24a^3r) = y - a
Logo,
lnl(y,x^24a^3r) = ya-1
Elevando exponencial:
y,x^2 = 4a^3ee^ya

Resposta

y,x^{2} = \frac{4a{3}}{e}e{\frac{y}{a}}

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