Uma função f: Omega R definida em um subconjunto Omega do R^n é dita Lipschitziana se existe uma constante positiva L tal que |f(u)-f(v)| <= L|u-v| forall u, v in Omega.
Mostre que, se f: Omega R e g: R R são Lipschitzianas, então a função composta g circ f é Lipschitziana.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos duas funções Lipschitzianas, uma definida em um subconjunto OmegasubsetR^n, f:OmegatoR, e outra em R, g:RtoR, então a composta gcirc f também é Lipschitziana.

Passo 2

Como f é Lipschitziana, existe uma constante positiva Lf tal que, para todo u,vinOmega, vale
|f(u)-f(v)|<= Lf|u-v|

Passo 3

Como g é Lipschitziana, existe uma constante positiva Lg tal que, para quaisquer x,yinR, vale
|g(x)-g(y)|<= Lg|x-y|

Passo 4

Agora, para quaisquer u,vinOmega, aplicamos g aos valores de f e usamos as desigualdades acima:
|g(f(u))-g(f(v))|<= Lg,|f(u)-f(v)|<= Lg,l(Lf|u-v|r)=l(LgLfr)|u-v|
Isso mostra que gcirc f satisfaz a condição de Lipschitz com constante L= LgLf.

Resposta

A função composta gcirc f é Lipschitziana em Omega com constante L = Lg,Lf.

Exercícios relacionados