Uma função
definida em um subconjunto
do
é dita Lipschitziana se existe uma constante positiva
tal que
.
Mostre que, se
e
são Lipschitzianas, então a função composta
é Lipschitziana.
Mostre que, se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos duas funções Lipschitzianas, uma definida em um subconjunto
,
, e outra em
,
, então a composta
também é Lipschitziana.
Passo 2
Como
é Lipschitziana, existe uma constante positiva
tal que, para todo
, vale
Passo 3
Como
é Lipschitziana, existe uma constante positiva
tal que, para quaisquer
, vale
Passo 4
Agora, para quaisquer
, aplicamos
aos valores de
e usamos as desigualdades acima:
Isso mostra que
satisfaz a condição de Lipschitz com constante
.
Resposta
A função composta
é Lipschitziana em
com constante
.