Q. 5. Considere a função f(x)=ll2 x-2, & 1 <= x<2 3, & 2 <= x <= 4. Qual a alternativa incorreta?
(a) O intervalo (2,3) não está na imagem de f;
(b) f é uma função contínua;
(c) f não é contínua em x=2;
(d) A imagem de f está contida no intervalo [0,3].

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 2x-2, & 1 <= x < 2, 3, & 2 <= x <= 4,
e pede para identificar qual das afirmações (a)–(d) está incorreta. Vamos precisar:
  • Encontrar a imagem de f.
  • Verificar continuidade em cada ponto do domínio.

Passo 2

Analisamos a imagem de f:
– Para 1 <= x < 2, tem-se f(x)=2x-2. Como x varia de 1 até 2 (não incluindo), f(x) varia de
f(1)=2cdot1-2=0 até limxto2^-(2x-2)=2 é
Logo esse ramo produz o intervalo [0,2).
– Para 2 <= x <= 4, f(x)=3 é constante, gerando o valor único 3.
Portanto a imagem é
Im(f) = [0,2),cup3

Passo 3

Testando cada afirmação:
(a) O intervalo (2,3) não está na imagem de f.
De fato entre 2 e 3 não há valores em [0,2)cup3. Logo (a) é verdadeira.
(b) f é uma função contínua.
Como veremos no Passo 4, há descontinuidade em x=2. Logo (b) é falsa.
(c) f não é contínua em x=2.
Para xto2^-, f(x)to2, mas f(2)=3. Há salto, logo (c) é verdadeira.
(d) A imagem de f está contida em [0,3].
De fato [0,2)cup3subset[0,3]. Logo (d) é verdadeira.

Passo 4

Verificação de continuidade em x=2:
– Limite pela esquerda:
limxto2^-f(x)=limxto2^-(2x-2)=2
– Valor da função:
f(2)=3
Como limxto2^-f(x)neq f(2), f é descontínua em x=2.

Resposta

(b) f é uma função contínua.

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