Suponha que a função f seja 2 pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 pi, 2 pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= pm pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(c) f(x)=x^3, -pi<x<pi

Passo 1

O enunciado define uma função f de período 2pi cuja “base” em -pi<x<pi é
f(x)=x^3
Precisamos (i) esboçar o gráfico de f em [-2pi,2pi], (ii) calcular os limites laterais em x=0 e x=pmpi, e (iii) obter a série de Fourier de f. O conteúdo aqui é série de Fourier de funções ímpares e extensões periódicas.

Passo 2

Como f(x)=x^3 em -pi<x<pi e f é 2pi-periódica, basta desenhar o cubo de x nesse intervalo e repetir o padrão. Em -pi<x<pi, o gráfico cresce de -pi^3 até pi^3 passando pela origem de forma ímpar. Para os dois períodos seguintes, replicamos esse trecho em [pi,3pi] e em [-3pi,-pi]. O esboço em [-2pi,2pi] consiste em duas cópias deslocadas do trecho central.

Passo 3

Vamos às descontinuidades na fronteira do período:
  1. Em x=0, como f é dada por x^3 e essa expressão é contínua,
    limxto0^-f(x)=0^3=0, limxto0^+f(x)=0^3=0
  2. Em x=pi, o ramo da esquerda é f(pi^-)=pi^3. Já o ramo da direita “cai” para o valor em -pi (pela periodicidade), logo
    limxtopi^+f(x)=(-pi)^3=-pi^3
  3. Em x=-pi, o ramo da direita é f(-pi^+) =(-pi)^3=-pi^3, e o ramo da esquerda, ao “vir de” x=-pi-varepsilon, equivale a f(pi^-)=pi^3. Portanto
    limxto(-pi)^-f(x)=pi^3, limxto(-pi)^+f(x)=-pi^3

Passo 4

Como f é ímpar, na série de Fourier só aparecem termos em seno:
f(x)=sumn=1^inftybnsin(nx),
com
bn=2piintegral0^pix^3sin(nx),dx
Fazendo integrações por partes três vezes (ou usando fórmula padrão), chega-se a
integral0^pix^3sin(nx),dx =(-1)^nl(6pin^3-pi^3nr)
Logo
bn =2pi(-1)^nl(6pin^3-pi^3nr) =(-1)^n+12l(pi^2n-6n^3r)
Portanto a série de Fourier é
x^3 =2sumn=1^infty(-1)^n+1l(pi^2n-6n^3r)sin(nx)

Resposta

x^3=2sumn=1^infty(-1)^n+1l(pi^2n-6n^3r)sin(nx)
Limites laterais:
limxto0^pmf(x)=0,
limxtopi^-f(x)=pi^3, limxtopi^+f(x)=-pi^3,
limxto(-pi)^-f(x)=pi^3, limxto(-pi)^+f(x)=-pi^3.

Exercícios relacionados