Suponha que a função
seja
-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo
, calcule seus limites laterais nos pontos
e
, por fim, encontre sua série de Fourier:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado define uma função
de período
cuja “base” em
é
Precisamos (i) esboçar o gráfico de
em
, (ii) calcular os limites laterais em
e
, e (iii) obter a série de Fourier de
. O conteúdo aqui é série de Fourier de funções ímpares e extensões periódicas.
Passo 2
Como
em
e
é
-periódica, basta desenhar o cubo de
nesse intervalo e repetir o padrão. Em
, o gráfico cresce de
até
passando pela origem de forma ímpar. Para os dois períodos seguintes, replicamos esse trecho em
e em
. O esboço em
consiste em duas cópias deslocadas do trecho central.
Passo 3
Vamos às descontinuidades na fronteira do período:
-
Em
, como é dada por e essa expressão é contínua, -
Em
, o ramo da esquerda é . Já o ramo da direita “cai” para o valor em (pela periodicidade), logo -
Em
, o ramo da direita é , e o ramo da esquerda, ao “vir de” , equivale a . Portanto
Passo 4
Como
é ímpar, na série de Fourier só aparecem termos em seno:
com
Fazendo integrações por partes três vezes (ou usando fórmula padrão), chega-se a
Logo
Portanto a série de Fourier é
Resposta
Limites laterais: