Q. 5. Considere a função . Qual a alternativa incorreta?
(a) O intervalo (2,3) não está na imagem de f;
(b) f não é contínua em x=2;
(c) f é uma função contínua;
(d) A imagem de f está contida no intervalo [0,3].
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= 2x-2, & 1<= x<2, 3, & 2<= x<= 4
O conteúdo principal envolve imagem de função e continuidade em ponto de transição. Para resolver, vamos achar a imagem de cada ramo e verificar a continuidade em x=2, checando cada afirmação.
Passo 2
No ramo 1<= x<2 temos f(x)=2x-2. Quando x=1, f(1)=0. Ao aproximar xto2^-,
f(x)=2x-2to 2cdot2-2=2
Logo a imagem deste ramo é o intervalo [0,2).
Passo 3
No ramo 2<= x<=4 temos f(x)=3 constante. Portanto a imagem deste ramo é o conjunto 3.
Passo 4
Unindo os dois resultados, a imagem de f é
Im(f) = [0,2),cup3
Daí:
O intervalo (2,3) realmente não aparece em Im(f), logo (a) é verdadeira.
Todo valor de Im(f) está entre 0 e 3, então (d) também é verdadeira.
Passo 5
Para a continuidade em x=2: limxto2^-f(x)=2 e limxto2^+f(x)=f(2)=3. Como os limites lateral não coincidem, f não é contínua em 2. Assim (b) é verdadeira e (c) — que afirma que f é contínua — é a única incorreta.