Questão 2 (3,0 pontos)
Dada a EDOLH
(a) Mostre que o ponto
é um ponto singular regular da EDOLH
(b) Determine uma solução pelo método de Frobenius.
(c) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.
Dada a EDOLH
(b) Determine uma solução pelo método de Frobenius.
(c) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede: (a) mostrar que
é um ponto singular regular; (b) obter uma solução por Frobenius; (c) indicar a forma da segunda solução linearmente independente, sem calcular coeficientes.
Passo 2
Para verificar singularidade regular em
escrevemos em forma padrão
Dividindo a EDOLH por
obtemos
Verificamos que
são analíticas em
. Logo
é ponto singular regular.
Passo 3
Pelo método de Frobenius buscamos
Calculando derivadas e substituindo na EDOLH, alinhas potências em
e isolamos o coeficiente de
. A equação indicial fica
Passo 4
Para
vêm os termos de ordem
, levando à recorrência
Substituindo
obtemos
com
escolhido arbitrariamente, por exemplo
. A primeira solução é
Passo 5
Como a raiz
é dupla, a segunda solução linearmente independente tem a forma clássica
onde os
satisfazem outra recorrência que não precisamos explicitar.
Resposta
(a) Dividindo por
obtém-se
e
, e
e
são analíticas em
, logo ponto singular regular.
(b) Pela Frobenius com surge
(b) Pela Frobenius com
(c) A outra solução é