Questão 2 (3,0 pontos)
Dada a EDOLH
x^2 y^prime prime+(5 x-x^2) y^prime+4 y=0
(a) Mostre que o ponto x0=0 é um ponto singular regular da EDOLH
(b) Determine uma solução pelo método de Frobenius.
(c) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
x^2y'' + l(5x - x^2r)y' + 4y = 0
e pede: (a) mostrar que x0=0 é um ponto singular regular; (b) obter uma solução por Frobenius; (c) indicar a forma da segunda solução linearmente independente, sem calcular coeficientes.

Passo 2

Para verificar singularidade regular em x=0 escrevemos em forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
Dividindo a EDOLH por x^2 obtemos
y'' + l(5x - x^2x^2r)y' + 4x^2,y = 0 Longrightarrow p(x)=5x-1, q(x)=4x^2
Verificamos que
x,p(x)=5 - x e x^2,q(x)=4
são analíticas em x=0. Logo x=0 é ponto singular regular.

Passo 3

Pelo método de Frobenius buscamos
y = sumn=0^inftyan,x^n+r, a0neq0
Calculando derivadas e substituindo na EDOLH, alinhas potências em x^n+r e isolamos o coeficiente de x^r. A equação indicial fica
a0l[r(r-1)+5r+4r]=0 Longrightarrow r^2+4r+4=0 Longrightarrow r=-2 (raiz dupla)

Passo 4

Para n>=1 vêm os termos de ordem x^n+r, levando à recorrência
anl(n+r+2r)^2 ;=;l(n+r-1r)an-1
Substituindo r=-2 obtemos
an = n-3n^2;an-1, n>=1,
com a0 escolhido arbitrariamente, por exemplo a0=1. A primeira solução é
y1(x) = x^-2sumn=0^inftyan,x^n com an=n-3n^2,an-1

Passo 5

Como a raiz r=-2 é dupla, a segunda solução linearmente independente tem a forma clássica
y2(x) = y1(x),ln x ;+; x^-2sumn=1^inftybn,x^n,
onde os bn satisfazem outra recorrência que não precisamos explicitar.

Resposta

(a) Dividindo por x^2 obtém-se p(x)=5/x-1 e q(x)=4/x^2, e x,p(x) e x^2q(x) são analíticas em x=0, logo ponto singular regular.
(b) Pela Frobenius com r=-2 surge
y1(x)=x^-2l(1+sumn=1^inftyanx^nr), an=n-3n^2,an-1
(c) A outra solução é
y2(x)=y1(x)ln x + x^-2sumn=1^inftybnx^n

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