Exercício 11. (F. 3.5, ex.3) Ache os autovalores e autofunções normalizadas para o problema f^prime prime+lambda f=0, f(0)=0, f^prime(l)=0 em [0, l] ? Use o exercício 6 .

Passo 1

O problema é a equação de Sturm–Liouville
f''(x)+lambda f(x)=0,
em [0,l] com as condições de contorno mistas
f(0)=0, f'(l)=0
O conteúdo é classificação de soluções segundo o sinal de lambda e determinação de autovalores e autofunções.

Passo 2

Classificamos três casos para lambda:
  1. lambda<0. Escreva lambda=-mu^2 com mu>0. A solução geral é
f(x)=C1e^mu x+C2e^-mu x
Impondo f(0)=0 C1+C2=0implies f(x)=C(e^mu x-e^-mu x). Em seguida f'(l)=0 leva a Cmu(e^mu l+e^-mu l)=0, que só tem solução não trivial se C=0. Logo não há autovalores negativos.
  1. lambda=0. A solução é f(x)=Ax+B. De f(0)=0 vem B=0 e de f'(l)=A=0 vem A=0. Só a solução trivial, então lambda=0 não é autovalor.
  2. lambda>0. Defina lambda=k^2 com k>0. A solução geral é
f(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)
De f(0)=0 obtemos B=0, então
f(x)=Asin(kx)
A condição f'(l)=0 exige
f'(x)=A,kcos(kx)implies f'(l)=A,kcos(kl)=0
Para ter Aneq0 e kneq0, precisamos
cos(k,l)=0 Longrightarrow k,l=(2n+1)pi2,;n=0,1,2,dots
Logo
kn=(2n+1)pi2,l, lambdan=kn^2=gl((2n+1)pi2,lgr)^2

Passo 3

As autofunções correspondentes, até normalização, são
fn(x)=Ansin!l(tfrac(2n+1)pi2,l,xr)

Passo 4

Para normalizar, exigimos
integral0^lfn(x)^2,dx = An^2integral0^lsin^2!l(tfrac(2n+1)pi2,lxr),dx =1
Mas
integral0^lsin^2!l(tfrac(2n+1)pi2,lxr),dx =l2,
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An^2l2=1 Longrightarrow An=raiz2l

Resposta

Os autovalores são
lambdan=gl((2n+1)pi2,lgr)^2, n=0,1,2,dots
e as autofunções normalizadas são
fn(x)=raiz2l, sin!l(tfrac(2n+1)pi2,l,xr), n=0,1,2,dots

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