Exercício 11. (F. 3.5, ex.3) Ache os autovalores e autofunções normalizadas para o problema
,
em
? Use o exercício 6 .
Passo 1
O problema é a equação de Sturm–Liouville
em
com as condições de contorno mistas
O conteúdo é classificação de soluções segundo o sinal de
e determinação de autovalores e autofunções.
Passo 2
Classificamos três casos para
:
-
. Escreva com . A solução geral é
Impondo
dá
. Em seguida
leva a
, que só tem solução não trivial se
. Logo não há autovalores negativos.
-
. A solução é . De vem e de vem . Só a solução trivial, então não é autovalor. -
. Defina com . A solução geral é
De
obtemos
, então
A condição
exige
Para ter
e
, precisamos
Logo
Passo 3
As autofunções correspondentes, até normalização, são
Passo 4
Para normalizar, exigimos
Mas
logo
Resposta
Os autovalores são
e as autofunções normalizadas são