Questão 3 (1 ponto)
Indique uma solução não trivial da EDO
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução não trivial da equação
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + 6y = 0
Este é um caso da equação de Legendre na forma canônica
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + ell(ell+1),y = 0
Para resolver, vamos identificar o parâmetro ell que faz ell(ell+1)=6.

Passo 2

Igualando os coeficientes de y, temos
ell(ell+1) = 6 Longrightarrow ell^2 + ell - 6 = 0
As raízes são
ell = 2 ou ell = -3
Geralmente escolhemos ell=2 para obter um polinômio de Legendre de grau 2.

Passo 3

O polinômio de Legendre de ordem 2 é
P2(x) = tfrac12,l(3x^2 - 1r)
Como qualquer múltiplo não nulo de P2(x) também é solução, podemos tomar
y(x) = P2(x) ou ainda y(x) = 3x^2 - 1

Resposta

Uma solução não trivial é
y(x) = 3x^2 - 1

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