Faça um gráfico para representar cada uma das funções abaixo:
(a) sen x+13 sen 3 x

Passo 1

Estamos encarando a função
f(x)=sin x+tfrac13sin3x
que é uma soma de harmônicos de ordem 1 e 3. O objetivo é traçar o gráfico de f ao longo de um período. Para isso vamos encontrar o período, os zeros, os extremos e depois montar o esboço.

Passo 2

Primeiro o período. Ambas sin x e sin3x têm período 2pi, então
T=2pi
Em seguida reescrevemos a soma para facilitar a análise de amplitude e zeros. Usando sin x+sin3x=2sin(2x)cos x, temos
f(x)=sin x+tfrac13sin3x =tfrac23,sin(2x)cos x

Passo 3

Determinamos os zeros de f sobre [0,2pi] resolvendo
tfrac23sin(2x)cos x=0 ;Longrightarrow; sin(2x)=0 ou cos x=0
Isso dá
sin(2x)=0Rightarrow x=0,tfracpi2,pi,tfrac3pi2,2pi,
cos x=0Rightarrow x=tfracpi2,tfrac3pi2.
No final os zeros em ordem são
x=0,;tfracpi2,;pi,;tfrac3pi2,;2pi

Passo 4

Agora achamos os extremos, derivando e igualando a zero:
f'(x)=cos x+cos3x
Usando cos3x=4cos^3x-3cos x obtemos
f'(x)=4cos^3x-2cos x =2cos x,(2cos^2x-1)=0
Logo cos x=0 (já deu zeros) ou cos^2x=tfrac12, i.e. cos x=pmtfrac1raiz2.
As soluções no intervalo são
x=tfracpi4,;tfrac3pi4,;tfrac5pi4,;tfrac7pi4
Calculando f nesses pontos:
fl(tfracpi4r)=sintfracpi4+tfrac13sintfrac3pi4 =tfracraiz22+tfrac13cdottfracraiz22 =tfrac2raiz23approx0,943,
de mesmo valor em x=3pi/4; e
fl(tfrac5pi4r)=fl(tfrac7pi4r)=-tfrac2raiz23approx-0,943

Passo 5

Com tudo isso podemos esboçar f em um período [0,2pi]:
  • Zeros em 0,tfracpi2,pi,tfrac3pi2,2pi.
  • Máximos locais +tfrac2raiz23 em tfracpi4 e tfrac3pi4.
  • Mínimos locais -tfrac2raiz23 em tfrac5pi4 e tfrac7pi4.
  • f é positiva em (0,pi) e negativa em (pi,2pi).
Resposta final: a seguir está o esboço do gráfico no intervalo [0,2pi] (os valores numerados estejam indicados no eixo x em múltiplos de pi/4, e o eixo y em unidades de aproximadamente 0,5).
c y uparrow 1,0 ru<=0.4cm0.15mm / / / backslash / backslash 0,5 ru<=0.4cm0.15mm / backslash / backslash / backslash / backslash 0,0 ru<=0.4cm0.15mm ─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─to x 0pi /4pi /2pi /3pi /4pi /5pi /6pi -0,5 ru<=0.4cm0.15mm backslash / / backslash / backslash / -1,0 ru<=0.4cm0.15mm backslash / backslash /
Este esboço reproduz a soma de harmônicos de 1ª e 3ª frequência, mostrando ondulações mais “ aplanadas”\ perto dos zeros comparado a uma senoide pura.

Resposta

Esboço do gráfico de ;f(x)=sin x+tfrac13sin3x; conforme descrito acima, com período 2pi, zeros em 0,tfracpi2,ldots,2pi e extremos pmtfrac2raiz23 em tfrac(2k+1)pi4.

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