a) Considere a função f(x)=lllm x^2+1 ; & se & x<-3 -3 n & se & x=-3 3 x-3 & ; & se x>-3. Determine as constantes m, n de modo que:
a1) Exista lim x -3 f(x)
a2 ) f seja contínua em x=-3
b) Determine as constantes reais a e b de modo que f seja contínua no ponto x0, em cada caso a seguir:
b1) f(x)=lll3 a x^2+2 & ; & se x<1 x-2 & ; & se x >= 1 (x0=1)
b2) f(x)=ll3 x-3 & ; se x>2 se x>2, (x0=2)

Passo 1

Estamos lidando com funções definidas por partes e queremos estudar limites laterais e continuidade em pontos de “quebra” de definição.
No item (a) a “quebra” ocorre em x=-3 e precisamos:
  • em ( a1) garantir que limxto-3^-f(x)=limxto-3^+f(x);
  • em ( a2) ainda exigir que esse limite coincida com f(-3).
    No item (b) é a mesma ideia em x0, só que com outras funções e pontos.

Passo 2

( a1) Calcular os limites laterais em x=-3:
  • Para x<-3,
limxto-3^-f(x) =limxto-3^-l(m x^2+1r) =mcdot(-3)^2+1 =9m+1
  • Para x>-3,
limxto-3^+f(x) =limxto-3^+(3x-3) =3cdot(-3)-3 =-9-3=-12
Para existir o limite em x=-3 igualamos
9m+1=-12 ;Longrightarrow; 9m=-13 ;Longrightarrow; m=-tfrac139

Passo 3

( a2) Para continuidade em x=-3 precisamos ainda que
f(-3)=-3n
seja igual ao limite comum que já vimos ser -12. Então
-3n=-12 ;Longrightarrow; n=4

Passo 4

(
  • Lado esquerdo em
  • Lado direito e valor em :

    Para continuidade igualamos

Passo 5

( b2) A definição por partes para o item ( b2) está incompleta (só aparece a parte “se x>2” sem a outra regra nem o valor em x=2). Sem essa informação não há como escrever as condições de limite lateral nem impor continuidade em x0=2.

Resposta

a1) m=-tfrac139 a2) n=4 b1) a=-1 b2) Impossível determinar sem a segunda parte da definição de f.

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