Determine as constantes a e b de modo que f(x)=lx^2-42 x-4 ; se x<2 b x-4 ; se x=2 3 x+a ; se x>2 seja contínua no ponto x=2.

Passo 1

O enunciado define uma função por partes em torno de x=2 e pede para escolher constantes a e b de modo que f seja contínua em x=2. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade:
limxto2^-f(x)=f(2)=limxto2^+f(x)

Passo 2

Calcular a limite à esquerda limxto2^-x^2-42x-4. Note que
x^2-42x-4 =(x-2)(x+2)2(x-2) =x+22, xneq2
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limxto2^-x^2-42x-4 =2+22 =2

Passo 3

O valor de f no ponto x=2 é dado por
f(2)=bcdot2-4=2b-4
Pela continuidade, esse valor deve coincidir com o limite à esquerda, que é 2. Assim,
2b-4=2 Longrightarrow 2b=6 Longrightarrow b=3

Passo 4

Calcular a limite à direita limxto2^+(3x+a). Substituindo x=2, obtemos
limxto2^+(3x+a) =3cdot2+a =6+a
Pela continuidade, esse resultado também deve ser f(2)=2. Então
6+a=2 Longrightarrow a=2-6 Longrightarrow a=-4

Resposta

a=-4, b=3

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