Esboce o gráfico de f(x)=llx^2 / 3 & -5 <= x<0 x^3 & 0 <= x <= 1 e determine integral-5^1 f(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma função definida por partes e depois calcular a integral definida dela no intervalo de -5 a 1. O conteúdo aqui envolve funções por partes, gráficos de funções e integração definida. Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como calcular integrais de funções simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função [f(x)) que está dividida em duas partes:
Isso significa que para valores de e , a função é , e para entre e , a função é .

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico de cada parte da função.
Para -5 <= x < 0, temos f(x) = x^2/3. A função x^2/3 é uma raiz cúbica quadrada de x. Para x negativos, vamos ver:
f(-x) = (-x)^2/3 = ( x^2 )^1/3 = raiz[3]x^2
Isso significa que o gráfico será semelhante ao de x^2/3 para x positivos, mas refletido no eixo y para x negativos.
Para 0 <= x <= 1, temos f(x) = x^3. Essa é uma curva simples onde a função cresce de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida integral-5^1 f(x) dx. Como a função é definida por partes, vamos dividir a integral em duas partes:
integral-5^1 f(x) dx = integral-5^0 x^2/3 dx + integral0^1 x^3 dx

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral integral-5^0 x^2/3 dx:
A antiderivada de x^2/3 é:
integral x^2/3 dx = 35 x^5/3 + C
Aplicando os limites de -5 a 0:
[ 35 x^5/3 ]-5^0 = 35 (0)^5/3 - 35 (-5)^5/3 = 0 - 35 (-5)^5/3
Note que (-5)^5/3 = -(5^5/3), então:
- 35 (-5)^5/3 = 35 cdot 5^5/3

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral integral0^1 x^3 dx:
A antiderivada de x^3 é:
integral x^3 dx = 14 x^4 + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
[ 14 x^4 ]0^1 = 14 (1)^4 - 14 (0)^4 = 14 - 0 = 14

Passo 7

Agora, somamos as duas partes:
integral-5^1 f(x) dx = 35 cdot 5^5/3 + 14
Podemos simplificar 35 cdot 5^5/3 para:
35 cdot 5^5/3 = 3 cdot 5^2/3
Então, a soma fica:
3 cdot 5^2/3 + 14

Resposta

A integral integral-5^1 f(x) dx é igual a 3 cdot 5^2/3 + 14.

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