Esboce o gráfico de
e determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma função definida por partes e depois calcular a integral definida dela no intervalo de
a
. O conteúdo aqui envolve funções por partes, gráficos de funções e integração definida. Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como calcular integrais de funções simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função [f(x)) que está dividida em duas partes:
Isso significa que para valores de e
, a função é
, e para
entre
e
, a função é
.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico de cada parte da função.
Para
, temos
. A função
é uma raiz cúbica quadrada de
. Para
negativos, vamos ver:
Isso significa que o gráfico será semelhante ao de
para
positivos, mas refletido no eixo
para
negativos.
Para
, temos
. Essa é uma curva simples onde a função cresce de
a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida
. Como a função é definida por partes, vamos dividir a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral
:
A antiderivada de
é:
Aplicando os limites de
a
:
Note que
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda integral
:
A antiderivada de
é:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 7
Agora, somamos as duas partes:
Podemos simplificar
para:
Então, a soma fica:
Resposta
A integral
é igual a
.