Considere a função . Justificando, estude a continuidade de f.
Passo 1
A questão pede para estudar a continuidade da função por partes
f(x)=x^3-xx^2-3x+2,&x<2;e;xneq1-2,&x=110,&x=5xln|x-5|,&x>=2;e;xneq5
ou seja, vamos precisar de noções de continuidade de funções racionais e de funções definidas por logaritmo para ver onde surgem descontinuidades ou cancelamentos.
Passo 2
Para a parte x<2 e xneq1, note que
x^3-x=x(x-1)(x+1)e x^2-3x+2=(x-1)(x-2),
então x^3-xx^2-3x+2=x(x-1)(x+1)(x-1)(x-2)=x(x+1)x-2,
válido para xneq1 e xneq2. Assim, nessa parte f é igual a uma função racional contínua sempre que o denominador não zera.
Passo 3
Nos pontos interiores de cada ramo (isto é, em (-infty,1), (1,2), (2,5) e (5,+infty)), a função é respectivamente uma racional ou xln|x-5|, ambas contínuas em seus domínios. Logo não há mais descontinuidades nesses intervalos.
Passo 4
Em x=1 temos um ponto de possível descontinuidade porque o ramo racional se anula no denominador. Vamos ver o limite:
limxto1x(x+1)x-2=1cdot21-2=-2
Como definiu-se f(1)=-2, o limite coincide com o valor da função, logo é uma descontinuidade removível e a função fica contínua em x=1.
Passo 5
Em x=2 o ramo da esquerda (racional) dá
limxto2^-x(x+1)x-2=2cdot30^-=-infty,
e o ramo da direita (log) dá limxto2^+xln|x-5|=2ln3,(número finito)ú
Como os limites laterais não coincidem (um é -infty e o outro é finito), há uma descontinuidade essencial em x=2.
Passo 6
Em x=5, aproximando-se pela direita ou pela esquerda no ramo xln|x-5|, temos
limxto5xln|x-5|=5limtto0ln t=-infty,
enquanto f(5)=10 é finito. Logo há descontinuidade essencial (infinita) em x=5.
Resposta
A função é contínua para todo x real, exceto em x=2 e x=5. Em x=1 a descontinuidade foi removida pela definição de f(1)=-2, tornando-a contínua nesse ponto.