Resumo do enunciado: Precisamos provar por indução que para quaisquer números reais vale a desigualdade . O conteúdo principal é o Princípio da Indução e a Desigualdade Triangular básica para dois termos.
Passo 2
Base da indução (n=1): Para um único número real a1 temos trivialmente
|a1|<=|a1|,
ou seja, a desigualdade é verdadeira quando n=1.
Passo 3
Passo indutivo: Suponha que a desigualdade valha para n=k; isto é, suponha como hipótese de indução que
Usando a desigualdade triangular para dois termos x=(a1+cdots+ak) e y=ak+1, temos
l|(a1+cdots+ak)+ak+1r| <=l|a1+cdots+akr| + |ak+1|
Pela hipótese de indução, substituímos
l|a1+cdots+akr|<=|a1|+cdots+|ak|,
obtendo
l|a1+cdots+ak + ak+1r| <=(|a1|+cdots+|ak|)+|ak+1|
Passo 4
Conclusão: Assim mostramos que se a desigualdade vale para n=k então vale para n=k+1. Como ela é verdadeira para n=1, pelo Princípio da Indução a desigualdade vale para todo ninN.