Prove por indução que |a1+a2+cdots+an| <=|a1|+|a2|+cdots+|an| quaisquer que sejm a1, a2, cdots, an in R.

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos provar por indução que para quaisquer números reais a1,a2,dots,an vale a desigualdade l|a1+a2+cdots+anr|<=|a1|+|a2|+cdots+|an|. O conteúdo principal é o Princípio da Indução e a Desigualdade Triangular básica para dois termos.

Passo 2

Base da indução ( n=1): Para um único número real a1 temos trivialmente
|a1|<=|a1|,
ou seja, a desigualdade é verdadeira quando n=1.

Passo 3

Passo indutivo: Suponha que a desigualdade valha para n=k; isto é, suponha como hipótese de indução que
l|a1 + a2 + cdots + akr| <= |a1| + |a2| + cdots + |ak|
Agora queremos provar para n=k+1. Note que
l|a1+cdots+ak + ak+1r| =l|(a1+cdots+ak)+ak+1r|
Usando a desigualdade triangular para dois termos x=(a1+cdots+ak) e y=ak+1, temos
l|(a1+cdots+ak)+ak+1r| <=l|a1+cdots+akr| + |ak+1|
Pela hipótese de indução, substituímos
l|a1+cdots+akr|<=|a1|+cdots+|ak|,
obtendo
l|a1+cdots+ak + ak+1r| <=(|a1|+cdots+|ak|)+|ak+1|

Passo 4

Conclusão: Assim mostramos que se a desigualdade vale para n=k então vale para n=k+1. Como ela é verdadeira para n=1, pelo Princípio da Indução a desigualdade vale para todo ninN.

Resposta

Para todo ninN e quaisquer reais a1,dots,an temos
l|a1+cdots+anr|<=|a1|+cdots+|an|

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