Considere a função
f:[-pi, pi] R, x mapsto f(x)= x+pi2, & para x <= 0 pi-x, & para x>0, e seja
Sf(x)=a02+sumn=1^infty an cos (n x)+bn sin (n x)
sua série de Fourier 2 pi-periódica. Podemos afirmar
A Nenhuma das outras alternativas
Sf(0)=a0
Sf(0)=a02
D Sf(0)=12(f(pi)+f(-pi))
E Sf(0)=f(0)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função definida em dois pedaços no intervalo de a . Queremos analisar a série de Fourier dessa função e descobrir qual das afirmações sobre o valor da série em está correta. Para isso, vamos usar conceitos básicos de séries de Fourier, como a representação da função e o comportamento da série em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(x) = x + pi2, & para x <= 0 pi - x, & para x > 0 está definida:
Isso significa que para valores de menores ou iguais a zero, a função é uma reta com inclinação , e para valores maiores que zero, é outra reta com inclinação .

Passo 3

Agora, a série de Fourier Sf(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(n x) + bn sin(n x) ] da função é dada por:
A questão quer saber o valor de . Para isso, precisamos lembrar de como a série de Fourier se comporta em pontos específicos.

Passo 4

Um ponto importante sobre séries de Fourier é que, nos pontos de continuidade da função, a série converge exatamente para o valor da função naquele ponto. Já nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites pela esquerda e pela direita.

Passo 5

Vamos verificar se f(0^-) = 0 + pi2 = pi2 é um ponto de continuidade da função f(0^+) = pi - 0 = pi :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, é um ponto de descontinuidade.

Passo 6

Então, segundo a propriedade das séries de Fourier, em Sf(0) = f(0^-) + f(0^+)2 = pi2 + pi2 = 3pi4 , a série converge para a média desses dois limites:

Passo 7

Agora, vamos analisar as alternativas oferecidas:
  • A) Nenhuma das outras alternativas
  • B)
  • C)
  • D)
  • E)
Sabemos que . A constante na série de Fourier é relacionada ao valor médio da função no intervalo, mas sem calcular , podemos observar que a alternativa C afirma que , que é consistente com a estrutura geral da série de Fourier, onde o termo constante é .

Resposta

C)

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