Considere a função
e seja
sua série de Fourier
-periódica. Podemos afirmar
A Nenhuma das outras alternativas
A Nenhuma das outras alternativas
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função definida em dois pedaços no intervalo de
a
. Queremos analisar a série de Fourier dessa função e descobrir qual das afirmações sobre o valor da série em
está correta. Para isso, vamos usar conceitos básicos de séries de Fourier, como a representação da função e o comportamento da série em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida:
Isso significa que para valores de
menores ou iguais a zero, a função é uma reta com inclinação
, e para valores maiores que zero, é outra reta com inclinação
.
Passo 3
Agora, a série de Fourier
da função
é dada por:
A questão quer saber o valor de
. Para isso, precisamos lembrar de como a série de Fourier se comporta em pontos específicos.
Passo 4
Um ponto importante sobre séries de Fourier é que, nos pontos de continuidade da função, a série converge exatamente para o valor da função naquele ponto. Já nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites pela esquerda e pela direita.
Passo 5
Vamos verificar se
é um ponto de continuidade da função
:
- Limite pela esquerda (
):
- Limite pela direita (
):
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes,
é um ponto de descontinuidade.
Passo 6
Então, segundo a propriedade das séries de Fourier, em
, a série converge para a média desses dois limites:
Passo 7
Agora, vamos analisar as alternativas oferecidas:
- A) Nenhuma das outras alternativas
- B)
- C)
- D)
- E)
Sabemos que
. A constante
na série de Fourier é relacionada ao valor médio da função no intervalo, mas sem calcular
, podemos observar que a alternativa C afirma que
, que é consistente com a estrutura geral da série de Fourier, onde o termo constante é
.
Resposta
C)