Determine o valor das somas a seguir com seus respectivos intervalos de convergência.
I. sumn=0^infty n x^n
II. sumn=1^infty(-1)^n x^2 n+2n+1
A SI=x^2(1-x)^2,-1
SI I=ln (1+x^2),-1 <= x <= 1
SI=x(1-x)^2,-1
SI I=ln (1+x^2),-1 <= x <= 1
C] SI=x(1-x)^2,-1 <= x <= 1
SI I=ln (1+x^2),-1 <= x <= 1
D) SI=x(1-x)^2,-1
SI I=ln (1+x),-1 <= x <= 1
E SI=x(1-x)^2,-1
SI I=ln (1-x^2),-1

Passo 1

O enunciado pede para somar duas séries de potências e achar seus intervalos de convergência: I) ∑_{n=0}∞ n x^n e II) ∑_{n=1}∞ (−1)^n x^{2n+2}/(n+1). Vamos usar teoria de séries geométricas e a expansão de ln(1+u).

Passo 2

Para I) lembramos que a série geométrica é
sumn=0^infty x^n=11-x, |x|<1
Diferenciando em relação a x surge
sumn=1^infty n x^n-1=1(1-x)^2
Multiplicando por x obtemos
sumn=1^infty n x^n=x(1-x)^2,
e como o termo n=0 é zero, concluímos
SI=sumn=0^infty n x^n=x(1-x)^2, -1

Passo 3

Para II) fazemos a mudança de índice m=n+1, assim
SII=sumn=1^infty(-1)^nx^2n+2n+1 = summ=2^infty(-1)^m-1x^2mm
Sabendo que
ln(1+x^2)=summ=1^infty(-1)^m-1x^2mm,
subtraímos o termo m=1 para ajustar o índice, ficando
SII=ln(1+x^2)-x^21=ln(1+x^2)-x^2

Passo 4

A convergência de ln(1+x^2) como série de potências em x^2 vale para |x^2|<=1, com convergência condicional em x=pm1. Logo
SII=ln(1+x^2)-x^2, -1<= x<=1

Resposta

S_I=\frac{x}{(1-x)^2},;-1<x<1;\quad S_{II}=\ln(1+x2)-x2,;-1\le x\le1

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