Determine o valor das somas a seguir com seus respectivos intervalos de convergência.
I.
II.
A
玹
C]
D)
E
I.
II.
A
玹
C]
D)
E
Passo 1
O enunciado pede para somar duas séries de potências e achar seus intervalos de convergência: I) ∑_{n=0}∞ n x^n e II) ∑_{n=1}∞ (−1)^n x^{2n+2}/(n+1). Vamos usar teoria de séries geométricas e a expansão de ln(1+u).
Passo 2
Para I) lembramos que a série geométrica é
Diferenciando em relação a
Multiplicando por
obtemos
e como o termo
Passo 3
Para II) fazemos a mudança de índice
, assim
Sabendo que
subtraímos o termo
para ajustar o índice, ficando
Passo 4
A convergência de
como série de potências em
vale para
, com convergência condicional em
. Logo
Resposta
S_I=\frac{x}{(1-x)^2},;-1<x<1;\quad S_{II}=\ln(1+x2)-x2,;-1\le x\le1