A solução das EDOs a seguir em séries de potência, que satisfazem as condições iniciais, são respectivamente:
I.
II.
—生
B
C
D
E
I.
II.
—生
Passo 1
O enunciado pede para encontrar em séries de potência as soluções das EDOs I)
com
e II)
com
, e depois comparar com as opções dadas.
Passo 2
Para I) assumimos uma solução da forma
. Então
Passo 3
Substituindo em
e reindexando, obtemos a relação de recorrência
[(k+2)(k+1)a_{k+2}-k a_k -a_k=0\quad\Rightarrow\quad a_{k+2}=\frac{a_k}{k+2}.
Passo 4
Pelas condições iniciais
e
, vemos que só aparecem termos pares e
Passo 5
Logo
Passo 6
Para II) a EDO é separável:
[\frac{y’}{y}=2x\ \Rightarrow\ \ln y= x2+C \Rightarrow y=e{x2+C}=Ce{x^2}.
Passo 7
Com
dá
, então
[y_{II}(x)=e{x2}=\sum_{n=0}\infty\frac{x{2n}}{n!}.
Passo 8
Comparando com as opções, apenas a letra A apresenta
[y_I(x)=1+\sum_{n=1}\infty\frac{x{2n}}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)},\quad y_{II}(x)=\sum_{n=0}\infty\frac{x{2n}}{n!}.
Resposta
A