Seja f: A R dada por f(x)=sen(x^3)x, onde A=(-infty, 0) cup(0,+infty). Dadas estas informações podemos afirmar que:
A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Extiste g: R R analítica em x=0 e tal que f(x)=g(x), x in(-infty, 0) cup(0,+infty).
C Essa função não é analítica em nenhum ponto de seu domínio.
D f é uma função analítica em x=0.
E f^prime(0)=1.

Passo 1

A questão apresenta a função f:Ato R, f(x)=sin(x^3)x, com A=(-infty,0)cup(0,+infty). Queremos analisar se existe uma extensão analítica em x=0 que coincide com f e também calcular f'(0).

Passo 2

Para estender f em x=0 pela série de Taylor, começamos expandindo sin(x^3):
sin(x^3)=x^3-x^93!+x^155!-cdots
Dividindo por x, obtemos a série de potências de f:
sin(x^3)x = x^2 - x^86 + x^14120 - cdots

Passo 3

Isso mostra que podemos definir uma função g: Rto R por
g(x)=x^2 - x^86 + x^14120 - cdots
que é convergente em todo R e coincide com f(x) para xneq0. Como é dada por uma série de potências, g é analítica em x=0.

Passo 4

Para encontrar f'(0), basta derivar termo a termo a série de g:
g'(x)=2x - 86x^7 + 14120x^13 - cdots
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g'(0)=0
Portanto, existe g analítica em x=0 que coincide com f em A, e f'(0)=0. A alternativa correta é a que afirma a existência de tal extensão analítica.

Resposta

Existe g: Rto R analítica em x=0 e tal que f(x)=g(x), xin(-infty,0)cup(0,+infty).

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